Calcolatore delle Proprietà della Sezione Triangolare

Inserisci base, altezza e posizione orizzontale del vertice per descrivere qualsiasi triangolo, isoscele, rettangolo o scaleno, e ottieni area, baricentro, momenti d’inerzia, momento centrifugo, assi principali e moduli di resistenza, con la sezione disegnata in scala.

Dimensioni della sezione

Inserisci le dimensioni nell’unità selezionata: disegno e risultati si aggiornano mentre scrivi. Il disegno usa coordinate baricentriche: le linee di griglia marcate sono gli assi x e y passanti per il baricentro C.

Unità di lunghezza

b — Base mm h — Altezza mm c — Posizione del vertice dal vertice sinistro mm

Sezione

Sezione con le sue quote
Baricentro C, assi baricentrici x e y
Assi principali 1 e 2, angolo θ_p
Centro di taglio S

Risultati

Risultati in

Area e baricentro

Area della sezioneA2,400mm²

Baricentro dal bordo sinistrox̄40mm

Baricentro dal bordo inferioreȳ20mm

Momenti d’inerzia (assi baricentrici)

Rispetto all’asse xI_x480,000mm⁴

Rispetto all’asse yI_y640,000mm⁴

Momento centrifugo (prodotto d’inerzia)I_xy0mm⁴

Momento d’inerzia polareI_x + I_yI_p1,120,000mm⁴

Assi principali

Momento principale massimoI₁640,000mm⁴

Momento principale minimoI₂480,000mm⁴

Angolo da x all’asse 1 (antiorario)asse 1 = y, asse 2 = xθ_p90.00°

Moduli di resistenza

Modulo di resistenza elastico rispetto a x, fibra superioreS_x,top12,000mm³

Modulo di resistenza elastico rispetto a x, fibra inferioreS_x,bot24,000mm³

Modulo di resistenza elastico rispetto a yS_y16,000mm³

Modulo di resistenza plastico rispetto a xZ_x28,118mm³

Modulo di resistenza plastico rispetto a yZ_y32,000mm³

Raggi d’inerzia

Rispetto all’asse xr_x14.142mm

Rispetto all’asse yr_y16.33mm

Distanze dalle fibre estreme

Dal baricentro alla fibra superiorec_top40mm

Dal baricentro alla fibra inferiorec_bot20mm

Dal baricentro alla fibra sinistra / destrac_x40mm

Il triangolo è dove il momento centrifugo comincia a contare. Un triangolo isoscele (vertice sopra la metà della base, c = b/2) ha I_xy = 0 e i suoi assi di simmetria sono principali; spostando il vertice su uno spigolo si ottiene un triangolo rettangolo e compare I_xy = −b²h²/72, che ruota gli assi principali rispetto all’orizzontale e alla verticale. Il disegno mostra la rotazione in tempo reale mentre sposti il vertice.

Qualunque sia la posizione del vertice, il baricentro resta a un terzo dell’altezza sopra la base e I_x = bh³/36 rispetto all’asse baricentrico parallelo alla base: con c cambiano solo I_y e I_xy. Imposta c = 0 o c = b per un triangolo rettangolo, c < 0 o c > b per uno ottusangolo.

Come si calcolano le proprietà: triangolo

Area: A = b·h / 2
Baricentro: x̄ = (b + c) / 3 dal vertice sinistro, ȳ = h / 3
Momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico x: I_x = b·h³ / 36
Momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico y: I_y = b·h·(b² − b·c + c²) / 36
Momento centrifugo: I_xy = b·h²·(2·c − b) / 72 (nullo per il triangolo isoscele)
Momenti principali: I_1,2 = (I_x + I_y)/2 ± √[((I_x − I_y)/2)² + I_xy²]

Momenti e assi principali derivano da I_x, I_y e I_xy con I_1,2 = (I_x + I_y)/2 ± √[((I_x − I_y)/2)² + I_xy²] e tan 2θ_p = −2·I_xy/(I_x − I_y); i raggi d’inerzia sono r = √(I/A) e i moduli di resistenza elastici S = I/c per ciascuna fibra estrema. Le definizioni di tutte le proprietà sono nel glossario della pagina generale sulle proprietà delle sezioni.

Ipotesi. Base orizzontale in basso. La posizione del vertice c si misura dal vertice sinistro della base; può essere negativa o maggiore di b. Non viene data la costante torsionale (solo il triangolo equilatero ha una forma chiusa semplice).

Altre sezioni

Domande frequenti

Perché il momento d’inerzia baricentrico è bh³/36 e non bh³/12?

bh³/12 è il momento d’inerzia di un triangolo rispetto alla base. Passando al baricentro, h/3 sopra la base, si sottrae A·(h/3)² = (bh/2)(h²/9) = bh³/18 e resta bh³/36. I valori rispetto alla base e al vertice (bh³/4) servono quando si combina un triangolo con altre forme, ma le tensioni di flessione richiedono sempre il valore baricentrico.

Cosa significa l’angolo principale per un triangolo rettangolo?

Per un triangolo rettangolo gli assi baricentrici orizzontale e verticale non sono principali: poiché I_xy ≠ 0, un momento applicato attorno all’asse x produce curvatura anche attorno a y (flessione deviata). Gli assi principali sono la coppia di assi perpendicolari per il baricentro rispetto a cui I_xy = 0; la flessione attorno a essi si disaccoppia. Il calcolatore li disegna in verde con l’angolo θp misurato in senso antiorario da x.

Come inserisco un triangolo equilatero?

Imposta h = b·√3/2 ≈ 0,866·b e c = b/2. Per b = 100 vuol dire h = 86,6 e c = 50. I risultati mostrano allora I_x = I_y e angolo principale 0°, perché un poligono regolare è isotropo a flessione.

Riferimenti e approfondimenti

Baricentro (geometria) — Wikipedia — posizione del baricentro delle figure piane elementari.
List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formule chiuse di Ix e Iy per le forme comuni, usate per verificare questo calcolatore.
Momento d’inerzia di superficie — Wikipedia — definizione, teorema di trasporto (Huygens-Steiner) e convenzione di segno del momento centrifugo.

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