Rechner für die Querschnittswerte des Dreiecks
Gib Grundseite, Höhe und die waagerechte Lage der Spitze ein, um ein beliebiges Dreieck zu beschreiben, gleichschenklig, rechtwinklig oder ungleichseitig, und erhalte Fläche, Schwerpunkt, Flächenträgheitsmomente, Deviationsmoment, Hauptachsen und Widerstandsmomente, mit maßstäblich gezeichnetem Querschnitt.
Abmessungen des Querschnitts
Gib die Abmessungen in der gewählten Einheit ein: Zeichnung und Ergebnisse aktualisieren sich während der Eingabe. Die Zeichnung verwendet Schwerpunktkoordinaten: Die kräftigen Gitterlinien sind die x- und y-Achse durch den Schwerpunkt C.
Querschnitt
- Querschnitt mit Bemaßung
- Schwerpunkt C, Schwerachsen x und y
- Hauptachsen 1 und 2, Winkel θp
- Schubmittelpunkt S
Beim Dreieck wird das Deviationsmoment erstmals wichtig. Ein gleichschenkliges Dreieck (Spitze über der Mitte der Grundseite, c = b/2) hat Ixy = 0, seine Symmetrieachsen sind Hauptachsen; verschiebt man die Spitze in eine Ecke, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Ixy = −b²h²/72, und die Hauptachsen drehen sich aus der Waagerechten und Senkrechten heraus. Die Zeichnung zeigt die Drehung live, während Sie die Spitze verschieben.
Unabhängig von der Spitzenposition bleibt der Schwerpunkt auf einem Drittel der Höhe über der Grundseite und Ix = bh³/36 um die zur Grundseite parallele Schwerachse, mit c ändern sich nur Iy und Ixy. Mit c = 0 oder c = b erhält man ein rechtwinkliges Dreieck, mit c < 0 oder c > b ein stumpfwinkliges.
So werden die Querschnittswerte berechnet: Dreieck
- Fläche
- A = b·h / 2
- Schwerpunkt
- x̄ = (b + c) / 3 ab linker Ecke, ȳ = h / 3
- Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse x
- Ix = b·h³ / 36
- Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse y
- Iy = b·h·(b² − b·c + c²) / 36
- Deviationsmoment
- Ixy = b·h²·(2·c − b) / 72 (null beim gleichschenkligen Dreieck)
- Hauptträgheitsmomente
- I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²]
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen folgen aus Ix, Iy und Ixy mit I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] und tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); die Trägheitsradien sind r = √(I/A), die elastischen Widerstandsmomente S = I/c für jede Randfaser. Die Definitionen aller Größen stehen im Glossar der Übersichtsseite zu den Querschnittswerten.
Annahmen. Grundseite waagerecht unten. Die Spitzenposition c wird ab der linken Ecke der Grundseite gemessen; sie darf negativ oder größer als b sein. Kein Torsionsträgheitsmoment (nur das gleichseitige Dreieck hat eine einfache geschlossene Form).
Weitere Querschnitte
Häufig gestellte Fragen
Warum ist das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse bh³/36 und nicht bh³/12?
bh³/12 ist das Flächenträgheitsmoment eines Dreiecks um seine Grundseite. Beim Übergang auf den Schwerpunkt, h/3 über der Grundseite, wird A·(h/3)² = (bh/2)(h²/9) = bh³/18 abgezogen, es bleibt bh³/36. Die Werte um Grundseite und Spitze (bh³/4) sind nützlich, wenn ein Dreieck mit anderen Formen kombiniert wird, für Biegespannungen ist aber immer der Schwerachsenwert nötig.
Was bedeutet der Hauptachsenwinkel bei einem rechtwinkligen Dreieck?
Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die waagerechte und die senkrechte Schwerachse keine Hauptachsen: Da I_xy ≠ 0 ist, erzeugt ein Moment um die x-Achse auch eine Krümmung um y (schiefe Biegung). Die Hauptachsen sind das Paar zueinander senkrechter Achsen durch den Schwerpunkt, für das I_xy = 0 gilt; um sie entkoppelt sich die Biegung. Der Rechner zeichnet sie grün mit dem Winkel θp, gegen den Uhrzeigersinn von x aus gemessen.
Wie gebe ich ein gleichseitiges Dreieck ein?
Mit h = b·√3/2 ≈ 0,866·b und c = b/2. Für b = 100 sind das h = 86,6 und c = 50. Die Ergebnisse zeigen dann I_x = I_y und den Hauptachsenwinkel 0°, denn ein regelmäßiges Vieleck ist in der Biegung isotrop.
Quellen & weiterführende Informationen
- Geometrischer Schwerpunkt — Wikipedia — Schwerpunktlagen der elementaren ebenen Flächen.
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — geschlossene Formeln für Ix und Iy der gängigen Formen, gegen die dieser Rechner geprüft wurde.
- Flächenträgheitsmoment — Wikipedia — Definition, Steinerscher Satz und Vorzeichenkonvention des Deviationsmoments.
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