Rechner für die Querschnittswerte der Ellipse
Gib die beiden Halbachsen eines elliptischen Querschnitts ein und erhalte Fläche, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien und Torsionsträgheitsmoment, mit maßstäblich gezeichnetem Querschnitt.
Abmessungen des Querschnitts
Gib die Abmessungen in der gewählten Einheit ein: Zeichnung und Ergebnisse aktualisieren sich während der Eingabe. Die Zeichnung verwendet Schwerpunktkoordinaten: Die kräftigen Gitterlinien sind die x- und y-Achse durch den Schwerpunkt C.
Querschnitt
- Querschnitt mit Bemaßung
- Schwerpunkt C, Schwerachsen x und y
- Hauptachsen 1 und 2, Winkel θp
- Schubmittelpunkt S
Elliptische Querschnitte finden sich bei Nocken, Leichtbaurohren, Stromlinienstreben und überall dort, wo ein Rundstab gedrückt wird oder eine Bohrung einen Zylinder schräg schneidet. Die Formeln sind die des Kreises mit a und b statt r: A = πab, Ix = πab³/4 (um die zu a parallele Achse), und der Querschnitt ist nur für a = b isotrop.
Die Ellipse ist außerdem eine der wenigen nicht kreisförmigen Formen mit exaktem, geschlossenem Torsionsträgheitsmoment, J = πa³b³/(a² + b²), und damit ein guter Prüfstein für Näherungsverfahren: Für a = b ergibt sich πr⁴/2 des Kreises, für eine schlanke Ellipse strebt J gegen den Wert des dünnen Streifens.
So werden die Querschnittswerte berechnet: Ellipse
- Fläche
- A = π·a·b
- Flächenträgheitsmomente
- Ix = π·a·b³ / 4, Iy = π·a³·b / 4
- Elastische Widerstandsmomente
- Sx = π·a·b² / 4, Sy = π·a²·b / 4
- Plastische Widerstandsmomente
- Zx = 4·a·b² / 3, Zy = 4·a²·b / 3
- Trägheitsradien
- rx = b / 2, ry = a / 2
- Torsionsträgheitsmoment (exakt)
- J = π·a³·b³ / (a² + b²)
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen folgen aus Ix, Iy und Ixy mit I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] und tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); die Trägheitsradien sind r = √(I/A), die elastischen Widerstandsmomente S = I/c für jede Randfaser. Die Definitionen aller Größen stehen im Glossar der Übersichtsseite zu den Querschnittswerten.
Annahmen. Exakt für eine echte Ellipse mit den Halbachsen a (in x) und b (in y). Halbachsen eingeben, nicht Gesamtbreite und Gesamthöhe.
Weitere Querschnitte
Häufig gestellte Fragen
Gebe ich die ganzen Achsen oder die Halbachsen ein?
Die Halbachsen: die halbe Gesamtbreite (a) und die halbe Gesamthöhe (b), also genau die Größen aus den Lehrbuchformeln. Die Zeichnung bemaßt a und b vom Mittelpunkt aus, damit klar ist, welche welche ist.
Ist das polare Moment einer Ellipse gleich ihrem Torsionsträgheitsmoment?
Nein, außer beim Kreis. I_p = I_x + I_y = πab(a² + b²)/4, das exakte Torsionsträgheitsmoment ist dagegen J = πa³b³/(a² + b²). Für a = 2b beträgt J nur etwa 64 % von I_p: Mit dem polaren Moment würde man die Torsionssteifigkeit um mehr als die Hälfte überschätzen.
Wie schneidet eine Ellipse gegenüber einem Rechteck gleicher Außenmaße ab?
Die Ellipse hat π/4 ≈ 78,5 % der Fläche des Rechtecks und 3π/16 ≈ 58,9 % seines Flächenträgheitsmoments (πab³/4 gegenüber 2a·(2b)³/12 = 4ab³/3). Ihr Formfaktor Z/S = 16/(3π) ≈ 1,70 liegt über den 1,5 des Rechtecks.
Quellen & weiterführende Informationen
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — geschlossene Formeln für Ix und Iy der gängigen Formen, gegen die dieser Rechner geprüft wurde.
- Torsionsträgheitsmoment — Wikipedia — warum J bei nicht kreisförmigen Querschnitten vom polaren Moment abweicht, mit den Formeln für dünnwandige Profile.
- Widerstandsmoment — Wikipedia — elastisches und plastisches Widerstandsmoment mit Formeln für die gängigen Querschnitte.
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