Calculateur des Caractéristiques de la Section Elliptique

Saisissez les deux demi-axes d’une section elliptique et obtenez son aire, ses moments quadratiques, ses modules de flexion, ses rayons de giration et sa constante de torsion, avec la section dessinée à l’échelle.

Dimensions de la section

Saisissez les dimensions dans l’unité choisie : le dessin et les résultats se mettent à jour pendant la saisie. Le dessin utilise des coordonnées centrales : les lignes de grille épaisses sont les axes x et y passant par le centre de gravité C.

Unité de longueur

a — Demi-axe selon x mm b — Demi-axe selon y mm

Section

Section avec ses cotes
Centre de gravité C, axes centraux x et y
Axes principaux 1 et 2, angle θ_p
Centre de cisaillement S

Résultats

Résultats en

Aire et centre de gravité

Aire de la sectionA3,141.6mm²

Centre de gravité depuis le bord gauchex̄40mm

Centre de gravité depuis le bord inférieurȳ25mm

Moments quadratiques (axes centraux)

Par rapport à l’axe xI_x490,870mm⁴

Par rapport à l’axe yI_y1,256,600mm⁴

Produit d’inertieI_xy0mm⁴

Moment quadratique polaireI_x + I_yI_p1,747,500mm⁴

Axes principaux

Moment principal maximalI₁1,256,600mm⁴

Moment principal minimalI₂490,870mm⁴

Angle de x vers l’axe 1 (sens trigonométrique)axe 1 = y, axe 2 = xθ_p90.00°

Modules de flexion

Module de flexion élastique par rapport à xS_x19,635mm³

Module de flexion élastique par rapport à yS_y31,416mm³

Module de flexion plastique par rapport à xZ_x33,333mm³

Module de flexion plastique par rapport à yZ_y53,333mm³

Rayons de giration

Par rapport à l’axe xr_x12.5mm

Par rapport à l’axe yr_y20mm

Distances aux fibres extrêmes

Du centre de gravité à la fibre supérieure / inférieurec_y25mm

Du centre de gravité à la fibre gauche / droitec_x40mm

Torsion et centre de cisaillement

Constante de torsionExact (Saint-Venant) : J = π·a³·b³ / (a² + b²).J1,412,000mm⁴

Les sections elliptiques se rencontrent dans les cames, les tubes légers, les haubans profilés et partout où un rond est écrasé ou un alésage coupe un cylindre en biais. Les formules sont celles du cercle avec a et b à la place de r : A = πab, I_x = πab³/4 (autour de l’axe parallèle à a), et la section n’est isotrope que lorsque a = b.

L’ellipse est aussi l’une des rares formes non circulaires dont la constante de torsion a une expression exacte, J = πa³b³/(a² + b²), ce qui en fait une bonne référence pour contrôler les méthodes approchées : pour a = b elle redonne le πr⁴/2 du cercle, et pour une ellipse très élancée elle tend vers la valeur de la bande mince.

Comment sont calculées les caractéristiques : ellipse

Aire: A = π·a·b
Moments quadratiques: I_x = π·a·b³ / 4, I_y = π·a³·b / 4
Modules de flexion élastiques: S_x = π·a·b² / 4, S_y = π·a²·b / 4
Modules de flexion plastiques: Z_x = 4·a·b² / 3, Z_y = 4·a²·b / 3
Rayons de giration: r_x = b / 2, r_y = a / 2
Constante de torsion (exacte): J = π·a³·b³ / (a² + b²)

Les moments et axes principaux découlent de I_x, I_y et I_xy par I_1,2 = (I_x + I_y)/2 ± √[((I_x − I_y)/2)² + I_xy²] et tan 2θ_p = −2·I_xy/(I_x − I_y) ; les rayons de giration sont r = √(I/A) et les modules de flexion élastiques S = I/c pour chaque fibre extrême. Les définitions de toutes les caractéristiques sont dans le glossaire de la page générale des caractéristiques des sections.

Hypothèses. Exact pour une véritable ellipse de demi-axes a (selon x) et b (selon y). Saisissez les demi-axes, pas la largeur et la hauteur totales.

Autres sections

Questions fréquentes

Faut-il saisir les axes complets ou les demi-axes ?

Les demi-axes : la moitié de la largeur totale (a) et la moitié de la hauteur totale (b), les grandeurs mêmes qui apparaissent dans les formules des manuels. Le dessin cote a et b depuis le centre pour que l’on voie clairement lequel est lequel.

Le moment polaire d’une ellipse est-il égal à sa constante de torsion ?

Non, sauf pour le cercle. I_p = I_x + I_y = πab(a² + b²)/4, tandis que la constante de torsion exacte est J = πa³b³/(a² + b²). Pour a = 2b, J vaut environ 64 % de I_p : utiliser le moment polaire surestimerait la rigidité en torsion de plus de moitié.

Comment une ellipse se compare-t-elle à un rectangle de même encombrement ?

L’ellipse a π/4 ≈ 78,5 % de l’aire du rectangle et 3π/16 ≈ 58,9 % de son moment quadratique (πab³/4 contre 2a·(2b)³/12 = 4ab³/3). Son facteur de forme Z/S = 16/(3π) ≈ 1,70 est supérieur au 1,5 du rectangle.

Références et pour aller plus loin

List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formules fermées de Ix et Iy pour les formes courantes, utilisées pour vérifier ce calculateur.
Torsion constant — Wikipedia (EN) — pourquoi J diffère du moment polaire pour les sections non circulaires, avec les formules en parois minces.
Module de flexion — Wikipédia — module de flexion élastique et plastique, avec les formules des sections courantes.

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