Calculateur des Caractéristiques de la Section Carrée
Saisissez le côté d’un carré plein et obtenez son aire, ses moments quadratiques, ses modules de flexion, son rayon de giration et sa constante de torsion, avec la section dessinée à l’échelle.
Dimensions de la section
Saisissez les dimensions dans l’unité choisie : le dessin et les résultats se mettent à jour pendant la saisie. Le dessin utilise des coordonnées centrales : les lignes de grille épaisses sont les axes x et y passant par le centre de gravité C.
Section
- Section avec ses cotes
- Centre de gravité C, axes centraux x et y
- Axes principaux 1 et 2, angle θp
- Centre de cisaillement S
Le carré plein est la section la plus simple dont la constante de torsion n’est pas triviale : contrairement au cercle, un carré ne reste pas plan lorsqu’on le tord, donc J n’est pas le moment polaire. La solution de Saint-Venant donne J ≈ 0,1406·a⁴, contre Ip = a⁴/6 ≈ 0,1667·a⁴ : utiliser le moment polaire surestimerait la rigidité en torsion d’environ 19 %.
En flexion, le carré est isotrope : tout axe central a le même moment quadratique a⁴/12, les axes principaux sont donc indéfinis et I1 = I2. Le module de flexion, lui, dépend de l’orientation : fléchi autour d’une diagonale, la fibre extrême est √2 fois plus éloignée et S diminue d’un facteur √2.
Comment sont calculées les caractéristiques : carré
- Aire
- A = a²
- Moment quadratique
- Ix = Iy = a⁴ / 12
- Moment polaire
- Ip = a⁴ / 6
- Module de flexion élastique
- S = a³ / 6
- Module de flexion plastique
- Z = a³ / 4
- Rayon de giration
- r = a / √12 ≈ 0,2887·a
- Constante de torsion (Saint-Venant)
- J ≈ 0,1406·a⁴
Les moments et axes principaux découlent de Ix, Iy et Ixy par I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] et tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy) ; les rayons de giration sont r = √(I/A) et les modules de flexion élastiques S = I/c pour chaque fibre extrême. Les définitions de toutes les caractéristiques sont dans le glossaire de la page générale des caractéristiques des sections.
Hypothèses. Angles vifs, sans rayon. La constante de torsion est la formule fermée de Roark approchant la solution de Saint-Venant, précise à environ 1 %.
Autres sections
Questions fréquentes
Pourquoi le moment quadratique est-il le même pour tout axe passant par le centre ?
Le carré possède deux axes de symétrie perpendiculaires de moments quadratiques égaux, ce qui rend le tenseur d’inertie isotrope dans le plan : I_x = I_y et I_xy = 0 pour toute rotation. Il en va de même pour tout polygone régulier et pour le cercle.
Un carré est-il plus rigide qu’un rond de même largeur ?
Oui. Avec a = d, I_carré = a⁴/12 ≈ 0,0833·a⁴ contre I_cercle = πd⁴/64 ≈ 0,0491·d⁴, le carré est donc environ 70 % plus rigide en flexion, mais il a aussi 27 % d’aire en plus. À aire égale, les deux sections diffèrent de moins de 5 %.
Où se trouve la contrainte de cisaillement maximale d’un arbre carré en torsion ?
Au milieu de chaque côté, pas dans les angles : les angles ne sont pas sollicités. Roark donne τ_max ≈ 4,81·T/a³ pour le carré plein, et c’est pourquoi le raccourci du moment polaire τ = T·r/I_p est faux pour les arbres non circulaires.
Références et pour aller plus loin
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formules fermées de Ix et Iy pour les formes courantes, utilisées pour vérifier ce calculateur.
- Torsion constant — Wikipedia (EN) — pourquoi J diffère du moment polaire pour les sections non circulaires, avec les formules en parois minces.
- Module de flexion — Wikipédia — module de flexion élastique et plastique, avec les formules des sections courantes.
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