Calculateur des Caractéristiques de la Section Semi-Circulaire
Saisissez le rayon d’une section en demi-rond et obtenez son aire, son centre de gravité, ses moments quadratiques autour des axes centraux, ses modules de flexion pour les deux fibres et ses rayons de giration, avec la section dessinée à l’échelle.
Dimensions de la section
Saisissez les dimensions dans l’unité choisie : le dessin et les résultats se mettent à jour pendant la saisie. Le dessin utilise des coordonnées centrales : les lignes de grille épaisses sont les axes x et y passant par le centre de gravité C.
Section
- Section avec ses cotes
- Centre de gravité C, axes centraux x et y
- Axes principaux 1 et 2, angle θp
- Centre de cisaillement S
Le demi-cercle est l’exercice classique de recherche du centre de gravité : il se trouve à 4r/(3π) ≈ 0,4244·r au-dessus du bord plan, et non au milieu. C’est aussi une section bien réelle : demi-ronds, arbres à méplat (approximativement), âme d’un profil claveté, moitiés d’une bague fendue.
Le centre de gravité étant excentré, la section possède deux modules de flexion élastiques différents autour de l’axe x : la fibre plane est à 0,4244·r de l’axe neutre, le sommet de l’arc à 0,5756·r. La contrainte de flexion est plus élevée au sommet. Le calculateur donne les deux modules et détermine numériquement le module plastique autour de x, l’axe d’aires égales n’ayant pas d’expression fermée.
Comment sont calculées les caractéristiques : demi-cercle
- Aire
- A = π·r² / 2
- Centre de gravité au-dessus du bord plan
- ȳ = 4·r / (3·π) ≈ 0,4244·r
- Moment quadratique par rapport au bord plan
- Ibase = π·r⁴ / 8
- Moments quadratiques centraux
- Ix = (π/8 − 8/(9π))·r⁴ ≈ 0,1098·r⁴, Iy = π·r⁴ / 8
- Modules de flexion élastiques autour de x
- Sx,top = Ix / (r − ȳ), Sx,bot = Ix / ȳ
- Module de flexion plastique autour de y
- Zy = 2·r³ / 3
Les moments et axes principaux découlent de Ix, Iy et Ixy par I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] et tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy) ; les rayons de giration sont r = √(I/A) et les modules de flexion élastiques S = I/c pour chaque fibre extrême. Les définitions de toutes les caractéristiques sont dans le glossaire de la page générale des caractéristiques des sections.
Hypothèses. Face plane en bas, arc en haut. Z_x est calculé numériquement à partir de l’axe d’aires égales (environ 0,354·r³) ; aucune constante de torsion n’est donnée pour cette forme.
Autres sections
Questions fréquentes
Pourquoi I_x central est-il tellement plus petit que πr⁴/8 ?
πr⁴/8 est le moment quadratique par rapport au bord plan (le diamètre). Le passage au centre de gravité par le théorème de Huygens retranche A·ȳ² = (πr²/2)·(4r/3π)² ≈ 0,283·r⁴, et il reste environ 0,110·r⁴ : la valeur centrale est toujours le minimum parmi tous les axes parallèles.
Quelle fibre gouverne la contrainte de flexion d’un demi-rond ?
Le sommet de l’arc, plus éloigné de l’axe neutre (0,5756·r contre 0,4244·r pour la face plane). Pour un même moment fléchissant, la contrainte au sommet est environ 36 % plus élevée que sur la face plane ; utilisez S_x,top lorsque le sommet est tendu ou comprimé, selon le cas.
Le calculateur donne-t-il la constante de torsion d’un demi-cercle ?
Non. La torsion de Saint-Venant d’une section semi-circulaire n’a pas d’expression fermée simple (Roark donne J ≈ 0,296·r⁴ d’après des solutions en série). Le moment polaire I_p des résultats vaut I_x + I_y et ne doit pas être utilisé comme J.
Références et pour aller plus loin
- Centre de gravité — Wikipédia — position du centre de gravité des figures planes élémentaires.
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formules fermées de Ix et Iy pour les formes courantes, utilisées pour vérifier ce calculateur.
- Moment quadratique — Wikipédia — définition, théorème de Huygens et convention de signe du produit d’inertie.
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