Calculateur Cercle de Mohr
Saisissez l'état de contrainte sur un élément (σx, σy, τxy) pour obtenir les contraintes principales, le cisaillement maximal dans le plan et l'élément de contrainte tourné — tracés en temps réel sur un cercle de Mohr interactif.
Faites glisser l'angle de rotation ci-dessous pour voir l'élément de contrainte tourner et le cercle de Mohr le suivre en temps réel : les deux points marqués (X et Y) affichent toujours la contrainte normale et de cisaillement sur les deux faces de l'élément à l'orientation choisie. Les points où le cercle croise l'axe horizontal sont les contraintes principales (σ1, σ2) ; le haut et le bas du cercle correspondent au cisaillement maximal dans le plan (±τmax).
État de Contrainte
Valeurs en MPa. Traction positive, compression négative.
Cercle de Mohr
Élément de Contrainte
- Traction (σ > 0)
- Compression (σ < 0)
- Contrainte de cisaillement (τ)
Glossaire
- Contrainte plane
- Un état de contrainte où les contraintes normale et de cisaillement hors plan sont nulles (ou négligeables) — l'hypothèse standard pour les plaques minces et les coques, et le cas couvert par ce calculateur.
- Contrainte principale
- La contrainte normale maximale (σ1) ou minimale (σ2) en un point, présente sur un plan où la contrainte de cisaillement est exactement nulle.
- Plan principal
- L'orientation de l'élément de contrainte à laquelle se produit une contrainte principale, à l'angle θp par rapport à l'orientation de référence (face X).
- Cisaillement maximal dans le plan
- La plus grande contrainte de cisaillement atteignable en faisant tourner l'élément dans le plan, égale au rayon du cercle de Mohr et à (σ1 − σ2)/2. Se produit à 45° des plans principaux.
- Contrainte normale moyenne (hydrostatique dans le plan)
- σavg = (σx + σy)/2 — le centre du cercle de Mohr, ainsi que la contrainte normale présente sur les plans de cisaillement maximal.
Questions fréquentes
À quoi sert le cercle de Mohr ?
Le cercle de Mohr est une méthode graphique permettant de déterminer la contrainte normale et de cisaillement sur un plan quelconque passant par un point, connaissant l'état de contrainte sur deux plans perpendiculaires (σx, σy, τxy). C'est le moyen le plus rapide de lire les contraintes principales, le cisaillement maximal dans le plan et l'orientation à laquelle ils se produisent, sans résoudre à la main les équations de transformation pour chaque angle.
Quelle convention de signe utilise ce calculateur ?
La contrainte normale est positive en traction, négative en compression. La contrainte de cisaillement est positive lorsqu'elle tend à faire tourner l'élément dans le sens antihoraire. Les angles de rotation positifs (θ) font également tourner l'élément dans le sens antihoraire. Cette convention correspond à celle utilisée dans la plupart des manuels de résistance des matériaux (Hibbeler, Beer & Johnston, Gere).
Pourquoi l'angle sur le cercle est-il le double de l'angle sur l'élément ?
Les équations de transformation des contraintes dépendent de 2θ, et non de θ — faire tourner l'élément physique de θ déplace le point correspondant sur le cercle de Mohr de 2θ. C'est une conséquence directe des identités trigonométriques utilisées pour établir la transformation (cos 2θ, sin 2θ), et non un choix graphique arbitraire.
Que sont les contraintes principales et les plans principaux ?
Les contraintes principales (σ1 et σ2) sont les contraintes normales maximale et minimale en un point, présentes sur les plans où la contrainte de cisaillement est nulle — les deux points où le cercle de Mohr croise l'axe horizontal (σ). Ces orientations sont appelées plans principaux, à l'angle θp par rapport à la face X de référence.
Quel est le lien entre le cisaillement maximal dans le plan et les contraintes principales ?
Le cisaillement maximal dans le plan τmax est égal au rayon du cercle, R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²], qui équivaut également à (σ1 − σ2)/2. Il se produit à 45° des plans principaux, sur un plan où la contrainte normale est égale à la contrainte moyenne σavg = (σx + σy)/2.
Ce calculateur gère-t-il les états de contrainte 3D (triaxiaux) ?
Non — ce calculateur couvre l'état de contrainte plane 2D (σx, σy, τxy, la contrainte hors plan étant supposée nulle), le cas standard pour les plaques minces, les coques et la plupart des vérifications de conception mécanique. Un état de contrainte triaxial complet nécessite trois cercles de Mohr, un pour chaque paire de contraintes principales.
Références et lectures complémentaires
- Cercle de Mohr — Wikipédia — la méthode graphique elle-même : dérivation, conventions de signe et usages typiques.
- Christian Otto Mohr — Wikipédia — l'ingénieur civil allemand qui a développé la méthode en 1882.
- Contrainte (mécanique) — Wikipédia — contexte sur le tenseur des contraintes de Cauchy que le cercle de Mohr représente graphiquement.
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