Calcolatore Cerchio di Mohr
Inserisci lo stato di tensione su un elemento (σx, σy, τxy) per ottenere le tensioni principali, il taglio massimo nel piano e l'elemento di tensione ruotato — tracciati in tempo reale su un cerchio di Mohr interattivo.
Trascina l'angolo di rotazione qui sotto per vedere l'elemento di tensione ruotare e il cerchio di Mohr seguirlo in tempo reale: i due punti indicati (X e Y) mostrano sempre la tensione normale e tangenziale sulle due facce dell'elemento all'orientamento scelto. I punti in cui il cerchio interseca l'asse orizzontale sono le tensioni principali (σ1, σ2); la parte superiore e inferiore del cerchio corrispondono al taglio massimo nel piano (±τmax).
Stato di Tensione
Valori in MPa. Trazione positiva, compressione negativa.
Cerchio di Mohr
Elemento di Tensione
- Trazione (σ > 0)
- Compressione (σ < 0)
- Tensione tangenziale (τ)
Glossario
- Tensione piana
- Uno stato di tensione in cui le tensioni normale e tangenziale fuori piano sono nulle (o trascurabili) — l'ipotesi standard per lastre sottili e gusci, ed è il caso coperto da questo calcolatore.
- Tensione principale
- La tensione normale massima (σ1) o minima (σ2) in un punto, presente su un piano dove la tensione tangenziale è esattamente nulla.
- Piano principale
- L'orientamento dell'elemento di tensione in corrispondenza del quale si verifica una tensione principale, all'angolo θp rispetto all'orientamento di riferimento (faccia X).
- Taglio massimo nel piano
- La massima tensione tangenziale ottenibile ruotando l'elemento nel piano, pari al raggio del cerchio di Mohr e a (σ1 − σ2)/2. Si verifica a 45° dai piani principali.
- Tensione normale media (idrostatica nel piano)
- σavg = (σx + σy)/2 — il centro del cerchio di Mohr, nonché la tensione normale presente sui piani di taglio massimo.
Domande frequenti
A cosa serve il cerchio di Mohr?
Il cerchio di Mohr è un metodo grafico per determinare la tensione normale e tangenziale su un piano qualsiasi passante per un punto, note le tensioni su due piani perpendicolari (σx, σy, τxy). È il modo più rapido per leggere le tensioni principali, il taglio massimo nel piano e l'orientamento in cui si verificano, senza dover risolvere a mano le equazioni di trasformazione per ogni angolo.
Quale convenzione di segno usa questo calcolatore?
La tensione normale è positiva in trazione, negativa in compressione. La tensione tangenziale è positiva quando tende a far ruotare l'elemento in senso antiorario. Anche gli angoli di rotazione positivi (θ) fanno ruotare l'elemento in senso antiorario. Questa convenzione corrisponde a quella usata nella maggior parte dei testi di scienza delle costruzioni e meccanica dei materiali (Hibbeler, Beer & Johnston, Gere).
Perché l'angolo sul cerchio è il doppio dell'angolo sull'elemento?
Le equazioni di trasformazione delle tensioni dipendono da 2θ, non da θ: ruotare l'elemento fisico di θ sposta il punto corrispondente lungo il cerchio di Mohr di 2θ. È una conseguenza diretta delle identità trigonometriche usate per ricavare la trasformazione (cos 2θ, sin 2θ), non una convenzione grafica arbitraria.
Cosa sono le tensioni principali e i piani principali?
Le tensioni principali (σ1 e σ2) sono la tensione normale massima e minima in un punto, presenti sui piani dove la tensione tangenziale è nulla — i due punti in cui il cerchio di Mohr interseca l'asse orizzontale (σ). Questi orientamenti sono detti piani principali, all'angolo θp rispetto alla faccia X di riferimento.
Che relazione c'è tra il taglio massimo nel piano e le tensioni principali?
Il taglio massimo nel piano τmax è pari al raggio del cerchio, R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²], che equivale anche a (σ1 − σ2)/2. Si verifica a 45° dai piani principali, su un piano dove la tensione normale è pari alla tensione media σavg = (σx + σy)/2.
Questo calcolatore gestisce stati di tensione 3D (triassiali)?
No — questo calcolatore copre lo stato di tensione piana 2D (σx, σy, τxy, con la tensione fuori piano assunta nulla), il caso standard per lastre sottili, gusci e la maggior parte delle verifiche di progettazione meccanica. Uno stato di tensione 3D completo richiede tre cerchi di Mohr, uno per ogni coppia di tensioni principali.
Riferimenti e approfondimenti
- Cerchio di Mohr — Wikipedia — il metodo grafico stesso: derivazione, convenzioni di segno e usi tipici.
- Christian Otto Mohr — Wikipedia — l'ingegnere civile tedesco che sviluppò il metodo nel 1882.
- Tensione interna — Wikipedia — approfondimento sul tensore delle tensioni di Cauchy che il cerchio di Mohr rappresenta graficamente.
Porta questo calcolatore in tasca
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