Calcolatore Cerchio di Mohr 3D
Inserisci il tensore di tensione completo per ottenere le tre tensioni principali, il taglio massimo assoluto e le tensioni equivalenti di Tresca e von Mises — rappresentate in tempo reale come tre cerchi concentrici.
A differenza del calcolatore 2D (stato piano di tensione), questo utilizza il tensore di tensione completo a sei componenti e risolve per i tre autovalori della matrice di tensione. Il cerchio grande (tra σ1 e σ3) definisce il taglio massimo assoluto; i due cerchi più piccoli lo suddividono. Ogni possibile piano di taglio passante per il punto — scegline uno con i cursori di orientazione qui sotto — ricade in qualche punto della regione ombreggiata tra di essi, mai al di fuori.
Tensore di tensione
Valori in MPa. Trazione positiva, compressione negativa. τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (tensore simmetrico).
Glossario
- Tensioni principali (3D)
- Le tre tensioni normali σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 che agiscono sui tre piani mutuamente perpendicolari in cui la tensione tangenziale è nulla — gli autovalori del tensore di tensione.
- Taglio massimo assoluto
- τmax = (σ1 − σ3) / 2 — il raggio del più grande dei tre cerchi, e il vero taglio massimo nel punto considerando ogni possibile orientazione (non solo le rotazioni nel piano).
- Criterio di Tresca
- Prevede lo snervamento quando la tensione tangenziale massima raggiunge un valore critico — equivalentemente, quando σ1 − σ3 raggiunge la tensione di snervamento del materiale. Semplice, conservativo.
- Criterio di von Mises
- Prevede lo snervamento in base all'energia di distorsione (cambiamento di forma): σvM = √[½((σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²)]. In genere corrisponde ai dati sperimentali per i metalli duttili in modo più fedele di Tresca.
- Coseni direttori
- Le componenti (l, m, n) di un versore lungo i tre assi principali — qui, l'orientazione della normale di un piano di taglio arbitrario, impostata tramite i cursori di zenit/azimut.
- Tensione media (idrostatica)
- σmean = (σ1 + σ2 + σ3) / 3 — la parte della tensione che modifica il volume, in contrapposizione alla parte distorsiva che von Mises cattura.
Domande frequenti
Il cerchio di Mohr 3D è solo un altro modo di disegnare la stessa cosa del cerchio 2D?
No — risolve un problema realmente diverso. Il calcolatore 2D (stato piano di tensione) prende 3 componenti di tensione (σx, σy, τxy) e ha una soluzione in forma chiusa. Il calcolatore 3D prende il tensore di tensione completo a 6 componenti e richiede di trovare gli autovalori di una matrice simmetrica 3×3 (le tre tensioni principali) — un calcolo sostanzialmente più grande, non solo una rappresentazione diversa degli stessi numeri.
Cosa rappresentano i tre cerchi?
Ogni cerchio è l'ordinario cerchio di Mohr 2D per una coppia di tensioni principali, disegnato come se si stesse ruotando l'elemento attorno al terzo asse principale: il cerchio grande (σ1, σ3) fornisce il taglio massimo assoluto, e i due cerchi più piccoli (σ1, σ2) e (σ2, σ3) lo delimitano. Qualsiasi piano passante per il punto, con qualsiasi orientazione, ha uno stato di tensione che ricade nella regione ombreggiata tra il cerchio grande e i due piccoli — mai al di fuori di essa.
Che differenza c'è tra il criterio di Tresca e quello di von Mises mostrati qui?
Entrambi sono misure di tensione equivalente usate per prevedere lo snervamento, calcolate direttamente dalle tre tensioni principali. Tresca (teoria della massima tensione tangenziale) usa σ1 − σ3 — il doppio del taglio massimo assoluto. Von Mises (teoria dell'energia di distorsione) usa √[½((σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²)]. Von Mises è generalmente più vicino ai dati sperimentali per i metalli duttili; Tresca è più conservativo (prevede lo snervamento a un carico inferiore) ed è più semplice da applicare a mano.
Quando serve davvero la versione 3D invece di quella 2D?
Ogni volta che la tensione fuori dal piano non è trascurabile — sezioni spesse, recipienti in pressione, tensioni di contatto, ovunque non valga l'ipotesi alla base dello stato piano di tensione (σz ≈ 0). Se stai lavorando con una piastra sottile o un guscio caricato nel proprio piano, il calcolatore 2D è sufficiente ed è più semplice da usare.
A cosa servono i cursori di "orientazione del piano"?
Impostano l'orientazione (angoli di zenit e azimut, misurati rispetto agli assi principali) di un piano arbitrario passante per il punto, e il diagramma riporta lo stato di tensione (σn, τn) effettivo di quel piano come punto P all'interno della regione ombreggiata — una dimostrazione dal vivo che nessuna orientazione può produrre uno stato di tensione al di fuori di essa.
Riferimenti e approfondimenti
- Cerchio di Mohr — Wikipedia — copre la costruzione a tre cerchi per il tensore di tensione 3D completo, non solo il caso 2D.
- Criterio di Tresca — Wikipedia — la teoria di rottura per massima tensione tangenziale legata al più grande dei tre cerchi.
- Criterio di von Mises — Wikipedia — la teoria di rottura per energia di distorsione comunemente confrontata con Tresca.
Porta questo calcolatore in tasca
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