Calculadora del Círculo de Mohr 3D
Introduce el tensor de tensión completo para obtener las tres tensiones principales, el cortante máximo absoluto y las tensiones equivalentes de Tresca y von Mises — representadas en tiempo real como tres círculos concéntricos.
A diferencia de la calculadora 2D (estado plano de tensión), esta usa el tensor de tensión completo de seis componentes y resuelve los tres autovalores de la matriz de tensión. El círculo grande (entre σ1 y σ3) define el cortante máximo absoluto; los dos círculos más pequeños lo subdividen. Cualquier plano de corte posible que pase por el punto — elige uno con los deslizadores de orientación de abajo — cae en algún punto de la región sombreada entre ellos, nunca fuera.
Tensor de tensión
Valores en MPa. Tracción positiva, compresión negativa. τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (tensor simétrico).
Glosario
- Tensiones principales (3D)
- Las tres tensiones normales σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 que actúan sobre los tres planos mutuamente perpendiculares donde la tensión tangencial es nula — los autovalores del tensor de tensión.
- Cortante máximo absoluto
- τmax = (σ1 − σ3) / 2 — el radio del mayor de los tres círculos, y el verdadero cortante máximo en el punto considerando cualquier orientación posible (no solo las rotaciones en el plano).
- Criterio de Tresca
- Predice la fluencia cuando la tensión tangencial máxima alcanza un valor crítico — equivalentemente, cuando σ1 − σ3 alcanza el límite elástico del material. Simple, conservador.
- Criterio de von Mises
- Predice la fluencia basándose en la energía de distorsión (cambio de forma): σvM = √[½((σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²)]. Generalmente se ajusta a los datos experimentales para metales dúctiles mejor que Tresca.
- Cosenos directores
- Las componentes (l, m, n) de un vector unitario a lo largo de los tres ejes principales — aquí, la orientación de la normal de un plano de corte arbitrario, fijada mediante los deslizadores de cenit/acimut.
- Tensión media (hidrostática)
- σmean = (σ1 + σ2 + σ3) / 3 — la parte de la tensión que cambia el volumen, en contraposición a la parte distorsional que captura von Mises.
Preguntas frecuentes
¿El círculo de Mohr 3D es solo otra forma de dibujar lo mismo que el 2D?
No — resuelve un problema realmente distinto. La calculadora 2D (estado plano de tensión) toma 3 componentes de tensión (σx, σy, τxy) y tiene una solución en forma cerrada. La calculadora 3D toma el tensor de tensión completo de 6 componentes y requiere hallar los autovalores de una matriz simétrica 3×3 (las tres tensiones principales) — un cálculo sustancialmente mayor, no solo una representación distinta de los mismos números.
¿Qué representan los tres círculos?
Cada círculo es el círculo de Mohr 2D ordinario para un par de tensiones principales, dibujado como si se rotara el elemento en torno al tercer eje principal: el círculo grande (σ1, σ3) da el cortante máximo absoluto, y los dos círculos más pequeños (σ1, σ2) y (σ2, σ3) lo delimitan. Cualquier plano que pase por el punto, con cualquier orientación, tiene un estado de tensión que cae en la región sombreada entre el círculo grande y los dos pequeños — nunca fuera de ella.
¿Qué diferencia hay entre los criterios de Tresca y von Mises mostrados aquí?
Ambos son medidas de tensión equivalente usadas para predecir la fluencia, calculadas directamente a partir de las tres tensiones principales. Tresca (teoría del cortante máximo) usa σ1 − σ3 — el doble del cortante máximo absoluto. Von Mises (teoría de la energía de distorsión) usa √[½((σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²)]. Von Mises se ajusta generalmente mejor a los datos experimentales para metales dúctiles; Tresca es más conservador (predice la fluencia con una carga menor) y es más sencillo de aplicar a mano.
¿Cuándo necesito realmente la versión 3D en lugar de la 2D?
Siempre que la tensión fuera del plano no sea despreciable — secciones gruesas, recipientes a presión, tensiones de contacto, en cualquier caso en que no se cumpla la hipótesis del estado plano de tensión (σz ≈ 0). Si trabajas con una placa delgada o una cáscara cargada en su propio plano, la calculadora 2D es suficiente y más sencilla de usar.
¿Para qué sirven los deslizadores de "orientación del plano"?
Fijan la orientación (ángulos de cenit y acimut, medidos desde los ejes principales) de un plano arbitrario que pasa por el punto, y el diagrama representa el estado de tensión real (σn, τn) de ese plano como el punto P dentro de la región sombreada — una demostración en vivo de que ninguna orientación puede producir un estado de tensión fuera de ella.
Referencias y lecturas adicionales
- Mohr's circle — Wikipedia — cubre la construcción de tres círculos para el tensor de tensión 3D completo, no solo el caso 2D.
- Tresca yield criterion — Wikipedia — la teoría de fallo por cortante máximo ligada al mayor de los tres círculos.
- Von Mises yield criterion — Wikipedia — la teoría de fallo por energía de distorsión habitualmente comparada con Tresca.
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