3D Mohrscher Spannungskreis-Rechner
Gib den vollständigen Spannungstensor ein, um die drei Hauptspannungen, die absolute maximale Schubspannung sowie die Vergleichsspannungen nach Tresca und von Mises zu erhalten — live als drei ineinander liegende Kreise dargestellt.
Anders als der 2D-Rechner (ebener Spannungszustand) nimmt dieser den vollständigen sechskomponentigen Spannungstensor und löst nach den drei Eigenwerten der Spannungsmatrix. Der große Kreis (zwischen σ1 und σ3) legt die absolute maximale Schubspannung fest; die beiden kleineren Kreise unterteilen ihn. Jede mögliche Schnittebene durch den Punkt — wähle eine mit den Orientierungsreglern unten — landet irgendwo in der schattierten Fläche zwischen ihnen, nie außerhalb davon.
Spannungstensor
Werte in MPa. Zug positiv, Druck negativ. τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (symmetrischer Tensor).
Glossar
- Hauptspannungen (3D)
- Die drei Normalspannungen σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, die auf den drei zueinander senkrechten Ebenen wirken, auf denen die Schubspannung null ist — die Eigenwerte des Spannungstensors.
- Absolute maximale Schubspannung
- τmax = (σ1 − σ3) / 2 — der Radius des größten der drei Kreise, und die tatsächliche maximale Schubspannung am Punkt über alle möglichen Orientierungen (nicht nur Drehungen in der Ebene).
- Tresca-Kriterium
- Sagt Fließen voraus, wenn die maximale Schubspannung einen kritischen Wert erreicht — gleichbedeutend damit, dass σ1 − σ3 die Streckgrenze des Werkstoffs erreicht. Einfach, konservativ.
- Von-Mises-Kriterium
- Sagt Fließen basierend auf der Gestaltänderungsenergie (Formänderungsenergie) voraus: σvM = √[½((σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²)]. Stimmt bei duktilen Metallen im Allgemeinen besser mit Versuchsdaten überein als Tresca.
- Richtungskosinus
- Die Komponenten (l, m, n) eines Einheitsvektors entlang der drei Hauptachsen — hier die Orientierung der Normalen einer beliebigen Schnittebene, eingestellt über die Zenit-/Azimut-Regler.
- Mittlere (hydrostatische) Spannung
- σmean = (σ1 + σ2 + σ3) / 3 — der volumenändernde Anteil des Spannungszustands, im Gegensatz zum gestaltändernden Anteil, den von Mises erfasst.
Häufig gestellte Fragen
Ist der 3D Mohrsche Spannungskreis nur eine andere Darstellung desselben Sachverhalts wie der 2D-Kreis?
Nein — er löst ein grundsätzlich anderes Problem. Der 2D-Rechner (ebener Spannungszustand) nimmt 3 Spannungskomponenten (σx, σy, τxy) und hat eine geschlossene Lösung. Der 3D-Rechner nimmt den vollständigen 6-komponentigen Spannungstensor und erfordert das Bestimmen der Eigenwerte einer symmetrischen 3×3-Matrix (die drei Hauptspannungen) — eine deutlich umfangreichere Berechnung, nicht nur eine andere Darstellung derselben Zahlen.
Was stellen die drei Kreise dar?
Jeder Kreis ist der gewöhnliche 2D Mohrsche Spannungskreis für ein Paar von Hauptspannungen, gezeichnet, als würde man das Element um die dritte Hauptachse drehen: Der große Kreis (σ1, σ3) liefert die absolute maximale Schubspannung, die beiden kleineren Kreise (σ1, σ2) und (σ2, σ3) begrenzen ihn. Jede Ebene durch den Punkt, in jeder beliebigen Orientierung, hat einen Spannungszustand, der in der schattierten Fläche zwischen dem großen Kreis und den beiden kleinen liegt — nie außerhalb davon.
Was ist der Unterschied zwischen den hier gezeigten Kriterien nach Tresca und von Mises?
Beide sind Vergleichsspannungsmaße zur Vorhersage des Fließbeginns, direkt aus den drei Hauptspannungen berechnet. Tresca (Schubspannungshypothese) verwendet σ1 − σ3 — das Doppelte der absoluten maximalen Schubspannung. Von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese) verwendet √[½((σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²)]. Von Mises stimmt bei duktilen Metallen im Allgemeinen besser mit Versuchsdaten überein; Tresca ist konservativer (sagt Fließen bei geringerer Last voraus) und lässt sich einfacher von Hand anwenden.
Wann brauche ich wirklich die 3D-Version anstelle der 2D-Version?
Immer dann, wenn die Spannung senkrecht zur Ebene nicht vernachlässigbar ist — dicke Querschnitte, Druckbehälter, Kontaktspannungen, überall dort, wo die Annahme hinter dem ebenen Spannungszustand (σz ≈ 0) nicht gilt. Wenn du mit einer dünnen Platte oder Schale arbeitest, die in ihrer eigenen Ebene belastet ist, reicht der 2D-Rechner aus und ist einfacher zu bedienen.
Wofür sind die Regler für die "Ebenenorientierung"?
Sie legen die Orientierung (Zenit- und Azimutwinkel, gemessen von den Hauptachsen) einer beliebigen Ebene durch den Punkt fest, und das Diagramm trägt den tatsächlichen Spannungszustand (σn, τn) dieser Ebene als Punkt P innerhalb der schattierten Fläche ein — eine Live-Demonstration, dass keine Orientierung einen Spannungszustand außerhalb dieser Fläche erzeugen kann.
Quellen & weiterführende Literatur
- Mohrscher Spannungskreis — Wikipedia — behandelt die Drei-Kreis-Konstruktion für den vollständigen 3D-Spannungstensor, nicht nur den 2D-Fall.
- Schubspannungshypothese (Tresca) — Wikipedia — die Versagenstheorie der maximalen Schubspannung, verknüpft mit dem größten der drei Kreise.
- Gestaltänderungsenergiehypothese (von Mises) — Wikipedia — die Versagenstheorie der Gestaltänderungsenergie, häufig mit Tresca verglichen.
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