Mohrscher Spannungskreis-Rechner
Gib den Spannungszustand an einem Element ein (σx, σy, τxy), um die Hauptspannungen, die maximale Schubspannung in der Ebene und das gedrehte Spannungselement zu erhalten — live auf einem interaktiven Mohrschen Spannungskreis dargestellt.
Ziehe den Drehwinkel unten, um zu sehen, wie sich das Spannungselement dreht und der Mohrsche Spannungskreis in Echtzeit mitläuft: Die beiden markierten Punkte (X und Y) zeigen immer die Normal- und Schubspannung auf den beiden Flächen des Elements bei der gewählten Orientierung. Dort, wo der Kreis die horizontale Achse schneidet, liegen die Hauptspannungen (σ1, σ2); oben und unten am Kreis liegt die maximale Schubspannung in der Ebene (±τmax).
Spannungszustand
Werte in MPa. Zug positiv, Druck negativ.
Mohrscher Spannungskreis
Spannungselement
- Zug (σ > 0)
- Druck (σ < 0)
- Schubspannung (τ)
Glossar
- Ebener Spannungszustand
- Ein Spannungszustand, bei dem die Normal- und Schubspannungen senkrecht zur Ebene null (oder vernachlässigbar) sind — die Standardannahme für dünne Platten und Schalen, und der Fall, den dieser Rechner abdeckt.
- Hauptspannung
- Die maximale (σ1) oder minimale (σ2) Normalspannung an einem Punkt, die auf einer Ebene auftritt, auf der die Schubspannung genau null ist.
- Hauptebene
- Die Orientierung des Spannungselements, bei der eine Hauptspannung auftritt, im Winkel θp zur Referenzorientierung (X-Fläche).
- Maximale Schubspannung in der Ebene
- Die größte durch Drehen des Elements in der Ebene erreichbare Schubspannung, gleich dem Radius des Mohrschen Spannungskreises und gleich (σ1 − σ2)/2. Tritt 45° von den Hauptebenen entfernt auf.
- Mittlere (in der Ebene hydrostatische) Normalspannung
- σavg = (σx + σy)/2 — der Mittelpunkt des Mohrschen Spannungskreises, und zugleich die Normalspannung auf den Ebenen maximaler Schubspannung.
Häufig gestellte Fragen
Wofür wird der Mohrsche Spannungskreis verwendet?
Der Mohrsche Spannungskreis ist eine grafische Methode, um die Normal- und Schubspannung auf einer beliebigen Ebene durch einen Punkt zu bestimmen, ausgehend vom Spannungszustand auf zwei senkrechten Ebenen (σx, σy, τxy). Es ist der schnellste Weg, die Hauptspannungen, die maximale Schubspannung in der Ebene und die Orientierung, bei der sie auftreten, abzulesen, ohne die Transformationsgleichungen für jeden Winkel von Hand zu lösen.
Welche Vorzeichenkonvention verwendet dieser Rechner?
Normalspannung ist positiv bei Zug, negativ bei Druck. Schubspannung ist positiv, wenn sie das Element gegen den Uhrzeigersinn zu drehen tendiert. Positive Drehwinkel (θ) drehen das Element ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn. Das entspricht der Konvention, die in den meisten Lehrbüchern der technischen Mechanik/Festigkeitslehre verwendet wird (Hibbeler, Beer & Johnston, Gere).
Warum ist der Winkel auf dem Kreis doppelt so groß wie der Winkel am Element?
Die Spannungstransformationsgleichungen hängen von 2θ ab, nicht von θ — dreht man das physische Element um θ, bewegt sich der zugehörige Punkt auf dem Mohrschen Spannungskreis um 2θ. Das ist eine direkte Folge der trigonometrischen Identitäten, die zur Herleitung der Transformation verwendet werden (cos 2θ, sin 2θ), keine willkürliche zeichnerische Wahl.
Was sind Hauptspannungen und Hauptebenen?
Hauptspannungen (σ1 und σ2) sind die maximale und minimale Normalspannung an einem Punkt, die auf den Ebenen auftreten, auf denen die Schubspannung null ist — die beiden Punkte, an denen der Mohrsche Spannungskreis die horizontale (σ-)Achse schneidet. Diese Orientierungen heißen Hauptebenen, im Winkel θp zur Referenz-X-Fläche.
Wie hängt die maximale Schubspannung in der Ebene mit den Hauptspannungen zusammen?
Die maximale Schubspannung in der Ebene τmax entspricht dem Radius des Kreises, R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²], was auch gleich (σ1 − σ2)/2 ist. Sie tritt 45° von den Hauptebenen entfernt auf, auf einer Ebene, auf der die Normalspannung gleich der mittleren Spannung σavg = (σx + σy)/2 ist.
Deckt dieser Rechner auch 3D- (dreiachsige) Spannungszustände ab?
Nein — dieser Rechner behandelt den ebenen 2D-Spannungszustand (σx, σy, τxy, wobei die Spannung senkrecht zur Ebene als null angenommen wird), den Standardfall für dünne Platten, Schalen und die meisten Nachweise in der Maschinenkonstruktion. Ein vollständiger 3D-Spannungszustand benötigt drei Mohrsche Spannungskreise, einen pro Paar von Hauptspannungen.
Quellen & weiterführende Literatur
- Mohrscher Spannungskreis — Wikipedia — die grafische Methode selbst: Herleitung, Vorzeichenkonventionen und typische Anwendungen.
- Christian Otto Mohr — Wikipedia — der deutsche Bauingenieur, der die Methode 1882 entwickelte.
- Spannung (Mechanik) — Wikipedia — Hintergrund zum Cauchyschen Spannungstensor, den der Mohrsche Spannungskreis visualisiert.
Diesen Rechner immer dabei haben
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