Calculateur Cercle de Mohr 3D
Saisissez le tenseur de contrainte complet pour obtenir les trois contraintes principales, le cisaillement maximal absolu et les contraintes équivalentes de Tresca et von Mises — tracés en temps réel sous forme de trois cercles imbriqués.
Contrairement au calculateur 2D (contrainte plane), celui-ci utilise le tenseur de contrainte complet à six composantes et résout les trois valeurs propres de la matrice de contrainte. Le grand cercle (entre σ1 et σ3) définit le cisaillement maximal absolu ; les deux cercles plus petits le subdivisent. Tout plan de coupe possible passant par le point — choisissez-en un avec les curseurs d'orientation ci-dessous — se situe quelque part dans la région ombrée entre eux, jamais en dehors.
Tenseur de Contrainte
Valeurs en MPa. Traction positive, compression négative. τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz (tenseur symétrique).
Glossaire
- Contraintes principales (3D)
- Les trois contraintes normales σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 agissant sur les trois plans mutuellement perpendiculaires où la contrainte de cisaillement est nulle — les valeurs propres du tenseur de contrainte.
- Cisaillement maximal absolu
- τmax = (σ1 − σ3) / 2 — le rayon du plus grand des trois cercles, et le véritable cisaillement maximal au point considéré sur toutes les orientations possibles (pas seulement les rotations dans le plan).
- Critère de Tresca
- Prédit la plastification lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur critique — de façon équivalente, lorsque σ1 − σ3 atteint la limite d'élasticité du matériau. Simple, conservateur.
- Critère de von Mises
- Prédit la plastification à partir de l'énergie de distorsion (changement de forme) : σvM = √[½((σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²)]. Correspond généralement plus fidèlement aux données d'essai pour les métaux ductiles que Tresca.
- Cosinus directeurs
- Les composantes (l, m, n) d'un vecteur unitaire le long des trois axes principaux — ici, l'orientation de la normale d'un plan de coupe arbitraire, définie via les curseurs de zénith/azimut.
- Contrainte moyenne (hydrostatique)
- σmean = (σ1 + σ2 + σ3) / 3 — la partie de l'état de contrainte qui modifie le volume, par opposition à la partie distorsionnelle que capture von Mises.
Questions fréquentes
Le cercle de Mohr 3D est-il juste une autre façon de dessiner la même chose que le cercle 2D ?
Non — il résout un problème réellement différent. Le calculateur 2D (contrainte plane) prend 3 composantes de contrainte (σx, σy, τxy) et possède une solution sous forme fermée. Le calculateur 3D prend le tenseur de contrainte complet à 6 composantes et nécessite de trouver les valeurs propres d'une matrice symétrique 3×3 (les trois contraintes principales) — un calcul nettement plus important, pas simplement une autre représentation des mêmes nombres.
Que représentent les trois cercles ?
Chaque cercle est le cercle de Mohr 2D ordinaire pour une paire de contraintes principales, tracé comme si l'on faisait tourner l'élément autour du troisième axe principal : le grand cercle (σ1, σ3) donne le cisaillement maximal absolu, et les deux cercles plus petits (σ1, σ2) et (σ2, σ3) le délimitent. Tout plan passant par le point, quelle que soit son orientation, a un état de contrainte qui se situe dans la région ombrée entre le grand cercle et les deux petits — jamais en dehors.
Quelle est la différence entre les critères de Tresca et de von Mises présentés ici ?
Les deux sont des mesures de contrainte équivalente utilisées pour prédire la plastification, calculées directement à partir des trois contraintes principales. Tresca (théorie de la contrainte de cisaillement maximale) utilise σ1 − σ3 — le double du cisaillement maximal absolu. Von Mises (théorie de l'énergie de distorsion) utilise √[½((σ1−σ2)² + (σ2−σ3)² + (σ3−σ1)²)]. Von Mises correspond généralement plus fidèlement aux données d'essai pour les métaux ductiles ; Tresca est plus conservateur (prédit la plastification à une charge plus faible) et plus simple à appliquer à la main.
Quand ai-je réellement besoin de la version 3D plutôt que de la version 2D ?
Chaque fois que la contrainte hors plan n'est pas négligeable — sections épaisses, appareils sous pression, contraintes de contact, partout où l'hypothèse sous-jacente à la contrainte plane (σz ≈ 0) ne tient pas. Si vous travaillez avec une plaque mince ou une coque chargée dans son propre plan, le calculateur 2D suffit et est plus simple à utiliser.
À quoi servent les curseurs d'« orientation du plan » ?
Ils définissent l'orientation (angles de zénith et d'azimut, mesurés à partir des axes principaux) d'un plan arbitraire passant par le point, et le diagramme trace l'état de contrainte réel (σn, τn) de ce plan sous la forme du point P à l'intérieur de la région ombrée — une démonstration en direct qu'aucune orientation ne peut produire un état de contrainte en dehors de celle-ci.
Références et lectures complémentaires
- Cercle de Mohr — Wikipédia — couvre la construction à trois cercles pour le tenseur de contrainte 3D complet, pas seulement le cas 2D.
- Critère de Tresca — Wikipédia — la théorie de rupture par contrainte de cisaillement maximale liée au plus grand des trois cercles.
- Critère de von Mises — Wikipédia — la théorie de rupture par énergie de distorsion couramment comparée à Tresca.
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