Calculateur des Caractéristiques de la Section Circulaire
Saisissez le diamètre d’un rond ou d’un arbre plein et obtenez son aire, son moment quadratique, son moment polaire, ses modules de flexion et son rayon de giration, avec la section dessinée à l’échelle.
Dimensions de la section
Saisissez les dimensions dans l’unité choisie : le dessin et les résultats se mettent à jour pendant la saisie. Le dessin utilise des coordonnées centrales : les lignes de grille épaisses sont les axes x et y passant par le centre de gravité C.
Section
- Section avec ses cotes
- Centre de gravité C, axes centraux x et y
- Axes principaux 1 et 2, angle θp
- Centre de cisaillement S
Le cercle plein est la section des arbres, axes, ronds et rivets. C’est la seule forme pour laquelle tout axe passant par le centre est principal (Ix = Iy, Ixy = 0 quelle que soit l’orientation) et pour laquelle le moment quadratique polaire Ip = πd⁴/32 est aussi, exactement, la constante de torsion J : le même nombre sert pour la contrainte de cisaillement en torsion τ = T·r/J et pour l’angle de torsion θ = T·L/(G·J).
En flexion, la grandeur utile est le module de flexion élastique S = πd³/32 : la contrainte en surface vaut σ = M/S. Comme S croît avec le cube du diamètre, un arbre 10 % plus gros est environ 33 % plus résistant en flexion et 46 % plus rigide.
Comment sont calculées les caractéristiques : cercle
- Aire
- A = π·d² / 4
- Moment quadratique
- Ix = Iy = π·d⁴ / 64
- Moment polaire = constante de torsion
- Ip = J = π·d⁴ / 32
- Module de flexion élastique
- S = π·d³ / 32
- Module de flexion plastique
- Z = d³ / 6
- Rayon de giration
- r = d / 4
Les moments et axes principaux découlent de Ix, Iy et Ixy par I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] et tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy) ; les rayons de giration sont r = √(I/A) et les modules de flexion élastiques S = I/c pour chaque fibre extrême. Les définitions de toutes les caractéristiques sont dans le glossaire de la page générale des caractéristiques des sections.
Hypothèses. Toutes les formules sont exactes pour un cercle parfait. Les résultats sont purement géométriques : ils ne dépendent pas du matériau.
Autres sections
Questions fréquentes
Pourquoi le moment polaire d’un cercle vaut-il le double de son moment quadratique ?
Le moment polaire par rapport au centre est I_p = ∫ r² dA = ∫ (x² + y²) dA = I_x + I_y. Pour un cercle, I_x et I_y sont égaux par symétrie, donc I_p = 2·I = πd⁴/32. C’est la seule section pleine courante pour laquelle I_p est aussi la vraie constante de torsion J.
Comment obtenir la contrainte de torsion d’un arbre à partir de ces valeurs ?
La contrainte de cisaillement maximale due à un couple T est τ = T·(d/2)/J, et le module de torsion vaut J/(d/2) = πd³/16, exactement le double du module de flexion S. L’angle de torsion sur une longueur L est θ = T·L/(G·J), G étant le module de cisaillement du matériau.
Une rainure de clavette modifie-t-elle les caractéristiques de la section ?
Légèrement pour I et S (une rainure normalisée ne retire que quelques pour cent de l’aire), mais nettement pour la contrainte, car les angles de la rainure sont des concentrateurs de contraintes. Ce calculateur donne la section circulaire pleine ; appliquez séparément un coefficient de concentration de contraintes pour la rainure.
Références et pour aller plus loin
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formules fermées de Ix et Iy pour les formes courantes, utilisées pour vérifier ce calculateur.
- Module de flexion — Wikipédia — module de flexion élastique et plastique, avec les formules des sections courantes.
- Torsion constant — Wikipedia (EN) — pourquoi J diffère du moment polaire pour les sections non circulaires, avec les formules en parois minces.
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