Calcolatore delle Proprietà della Sezione Circolare
Inserisci il diametro di una barra tonda o di un albero pieno e ottieni area, momento d’inerzia, momento polare, moduli di resistenza e raggio d’inerzia, con la sezione disegnata in scala.
Dimensioni della sezione
Inserisci le dimensioni nell’unità selezionata: disegno e risultati si aggiornano mentre scrivi. Il disegno usa coordinate baricentriche: le linee di griglia marcate sono gli assi x e y passanti per il baricentro C.
Sezione
- Sezione con le sue quote
- Baricentro C, assi baricentrici x e y
- Assi principali 1 e 2, angolo θp
- Centro di taglio S
Il cerchio pieno è la sezione di alberi, perni, barre tonde e rivetti. È l’unica forma in cui ogni asse per il centro è principale (Ix = Iy, Ixy = 0 in qualunque orientamento) e in cui il momento d’inerzia polare Ip = πd⁴/32 coincide esattamente con la costante torsionale J: lo stesso numero serve per la tensione tangenziale da torsione τ = T·r/J e per l’angolo di torsione θ = T·L/(G·J).
A flessione conta il modulo di resistenza elastico S = πd³/32: la tensione in superficie vale σ = M/S. Poiché S cresce con il cubo del diametro, un albero più grosso del 10% è circa il 33% più resistente a flessione e il 46% più rigido.
Come si calcolano le proprietà: cerchio
- Area
- A = π·d² / 4
- Momento d’inerzia
- Ix = Iy = π·d⁴ / 64
- Momento polare = costante torsionale
- Ip = J = π·d⁴ / 32
- Modulo di resistenza elastico
- S = π·d³ / 32
- Modulo di resistenza plastico
- Z = d³ / 6
- Raggio d’inerzia
- r = d / 4
Momenti e assi principali derivano da Ix, Iy e Ixy con I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] e tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); i raggi d’inerzia sono r = √(I/A) e i moduli di resistenza elastici S = I/c per ciascuna fibra estrema. Le definizioni di tutte le proprietà sono nel glossario della pagina generale sulle proprietà delle sezioni.
Ipotesi. Tutte le formule sono esatte per un cerchio perfetto. I risultati sono puramente geometrici: non dipendono dal materiale.
Altre sezioni
Domande frequenti
Perché il momento polare di un cerchio è il doppio del momento d’inerzia?
Il momento polare rispetto al centro è I_p = ∫ r² dA = ∫ (x² + y²) dA = I_x + I_y. Per il cerchio I_x e I_y sono uguali per simmetria, quindi I_p = 2·I = πd⁴/32. È l’unica sezione piena comune in cui I_p è anche la vera costante torsionale J.
Come ricavo la tensione torsionale di un albero da questi numeri?
La tensione tangenziale massima dovuta a una coppia T è τ = T·(d/2)/J, e il modulo di resistenza polare è J/(d/2) = πd³/16, esattamente il doppio del modulo flessionale S. L’angolo di torsione su una lunghezza L è θ = T·L/(G·J), con G il modulo di elasticità tangenziale del materiale.
Una sede per linguetta cambia le proprietà della sezione?
Di poco per I e S (una sede unificata toglie solo qualche percento di area), ma molto per la tensione, perché gli spigoli della sede sono intagli. Il calcolatore fornisce la sezione circolare piena; il fattore di concentrazione delle tensioni della sede va applicato a parte.
Riferimenti e approfondimenti
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formule chiuse di Ix e Iy per le forme comuni, usate per verificare questo calcolatore.
- Modulo di resistenza — Wikipedia — modulo di resistenza elastico e plastico, con le formule per le sezioni più comuni.
- Torsion constant — Wikipedia (EN) — perché J differisce dal momento polare nelle sezioni non circolari, con le formule per pareti sottili.
Porta questo calcolatore in tasca
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