Rechner für die Querschnittswerte des Kreises
Gib den Durchmesser eines Rundstabs oder einer Vollwelle ein und erhalte Fläche, Flächenträgheitsmoment, polares Moment, Widerstandsmomente und Trägheitsradius, mit maßstäblich gezeichnetem Querschnitt.
Abmessungen des Querschnitts
Gib die Abmessungen in der gewählten Einheit ein: Zeichnung und Ergebnisse aktualisieren sich während der Eingabe. Die Zeichnung verwendet Schwerpunktkoordinaten: Die kräftigen Gitterlinien sind die x- und y-Achse durch den Schwerpunkt C.
Querschnitt
- Querschnitt mit Bemaßung
- Schwerpunkt C, Schwerachsen x und y
- Hauptachsen 1 und 2, Winkel θp
- Schubmittelpunkt S
Der Vollkreis ist der Querschnitt von Wellen, Bolzen, Rundstäben und Nieten. Er ist die einzige Form, bei der jede Achse durch den Mittelpunkt eine Hauptachse ist (Ix = Iy, Ixy = 0 in jeder Lage) und bei der das polare Flächenträgheitsmoment Ip = πd⁴/32 zugleich exakt das Torsionsträgheitsmoment J ist: Derselbe Wert dient für die Torsionsschubspannung τ = T·r/J und den Verdrehwinkel θ = T·L/(G·J).
Für die Biegung zählt das elastische Widerstandsmoment S = πd³/32: Die Randspannung ist σ = M/S. Da S mit der dritten Potenz des Durchmessers wächst, ist eine um 10 % dickere Welle etwa 33 % biegefester und 46 % steifer.
So werden die Querschnittswerte berechnet: Kreis
- Fläche
- A = π·d² / 4
- Flächenträgheitsmoment
- Ix = Iy = π·d⁴ / 64
- Polares Moment = Torsionsträgheitsmoment
- Ip = J = π·d⁴ / 32
- Elastisches Widerstandsmoment
- S = π·d³ / 32
- Plastisches Widerstandsmoment
- Z = d³ / 6
- Trägheitsradius
- r = d / 4
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen folgen aus Ix, Iy und Ixy mit I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] und tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); die Trägheitsradien sind r = √(I/A), die elastischen Widerstandsmomente S = I/c für jede Randfaser. Die Definitionen aller Größen stehen im Glossar der Übersichtsseite zu den Querschnittswerten.
Annahmen. Alle Formeln sind für einen idealen Kreis exakt. Die Ergebnisse sind rein geometrisch und hängen nicht vom Werkstoff ab.
Weitere Querschnitte
Häufig gestellte Fragen
Warum ist das polare Moment eines Kreises doppelt so groß wie sein Flächenträgheitsmoment?
Das polare Moment um den Mittelpunkt ist I_p = ∫ r² dA = ∫ (x² + y²) dA = I_x + I_y. Beim Kreis sind I_x und I_y aus Symmetriegründen gleich, also I_p = 2·I = πd⁴/32. Er ist der einzige gängige Vollquerschnitt, bei dem I_p zugleich das echte Torsionsträgheitsmoment J ist.
Wie erhalte ich aus diesen Werten die Torsionsspannung einer Welle?
Die größte Schubspannung aus einem Drehmoment T ist τ = T·(d/2)/J, und das polare Widerstandsmoment ist J/(d/2) = πd³/16, genau das Doppelte des Biege-Widerstandsmoments S. Der Verdrehwinkel über eine Länge L ist θ = T·L/(G·J), mit G als Schubmodul des Werkstoffs.
Ändert eine Passfedernut die Querschnittswerte?
Geringfügig bei I und S (eine genormte Nut nimmt nur wenige Prozent der Fläche weg), deutlich aber bei der Spannung, weil die Nutkanten als Kerben wirken. Dieser Rechner liefert den ungestörten Kreisquerschnitt; die Formzahl der Nut ist gesondert anzusetzen.
Quellen & weiterführende Informationen
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — geschlossene Formeln für Ix und Iy der gängigen Formen, gegen die dieser Rechner geprüft wurde.
- Widerstandsmoment — Wikipedia — elastisches und plastisches Widerstandsmoment mit Formeln für die gängigen Querschnitte.
- Torsionsträgheitsmoment — Wikipedia — warum J bei nicht kreisförmigen Querschnitten vom polaren Moment abweicht, mit den Formeln für dünnwandige Profile.
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