Rechner für die Querschnittswerte des L-/Winkelprofils
Gib die beiden Schenkellängen und die Dicke eines gleich- oder ungleichschenkligen Winkels ein und erhalte Fläche, Schwerpunkt, Flächenträgheitsmomente, Deviationsmoment, Hauptachsen, kleinsten Trägheitsradius, Widerstandsmomente, Torsionsträgheitsmoment und Schubmittelpunkt, mit maßstäblich gezeichnetem Querschnitt.
Abmessungen des Querschnitts
Gib die Abmessungen in der gewählten Einheit ein: Zeichnung und Ergebnisse aktualisieren sich während der Eingabe. Die Zeichnung verwendet Schwerpunktkoordinaten: Die kräftigen Gitterlinien sind die x- und y-Achse durch den Schwerpunkt C.
Querschnitt
- Querschnitt mit Bemaßung
- Schwerpunkt C, Schwerachsen x und y
- Hauptachsen 1 und 2, Winkel θp
- Schubmittelpunkt S
Der Winkel ist das Lehrbuchbeispiel für einen Querschnitt mit gedrehten Hauptachsen: Er hat keine Symmetrieachse parallel zu seinen Schenkeln, das Deviationsmoment Ixy ist daher nicht null, und die wahren größten und kleinsten Flächenträgheitsmomente treten um ein Achsenpaar auf, das um den Winkel θp gegen die Schenkel geneigt ist, genau 45° beim gleichschenkligen Winkel, weniger beim ungleichschenkligen. Wird ein Winkel um eine schenkelparallele Achse gebogen, verformt er sich in beide Richtungen.
Für einen Einzelwinkel als Druckstab ist beim Knicken der kleinste Trägheitsradius r2 = √(I2/A) um die kleine Hauptachse maßgebend, nicht rx oder ry: Der Rechner gibt beide Haupt-Trägheitsradien an, sobald die Achsen gedreht sind. Die Zeichnung zeigt die Hauptachsen grün und den Schubmittelpunkt S in der Ecke, in der sich die Schenkelmittellinien treffen.
So werden die Querschnittswerte berechnet: L- / Winkelprofil
- Fläche
- A = t·(a + b − t)
- Schwerpunkt ab äußerer Ecke
- x̄ = [b²·t + (a − t)·t²] / (2·A), ȳ = [a²·t + (b − t)·t²] / (2·A)
- Flächenträgheitsmomente um die Schwerachsen
- Ix, Iy nach dem Steinerschen Satz aus den beiden Schenkelrechtecken (senkrechter Schenkel t × a, waagerechter Schenkel (b − t) × t)
- Deviationsmoment
- Ixy = Σ Ai·(xi − x̄)·(yi − ȳ) über die beiden Rechtecke
- Hauptachsenwinkel
- tan 2θp = −2·Ixy / (Ix − Iy)
- Hauptträgheitsmomente
- I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²]
- Torsionsträgheitsmoment (dünnwandig)
- J ≈ (a + b − t)·t³ / 3
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen folgen aus Ix, Iy und Ixy mit I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] und tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); die Trägheitsradien sind r = √(I/A), die elastischen Widerstandsmomente S = I/c für jede Randfaser. Die Definitionen aller Größen stehen im Glossar der Übersichtsseite zu den Querschnittswerten.
Annahmen. Scharfe Kanten: keine Ausrundung und keine Kantenrundung. Gewalzte Winkel haben etwas größere A und I (1–3 %) und einen Schubmittelpunkt sehr nahe am Schnittpunkt der Schenkel. Das Torsionsträgheitsmoment ist die Näherung für offene dünnwandige Querschnitte.
Weitere Querschnitte
Häufig gestellte Fragen
Warum ist der Hauptachsenwinkel eines gleichschenkligen Winkels genau 45°?
Weil ein gleichschenkliger Winkel symmetrisch zu seiner Winkelhalbierenden ist: Eine Symmetrieachse ist immer eine Hauptachse, und die Winkelhalbierende liegt unter 45° zu beiden Schenkeln. Das größte Flächenträgheitsmoment I_1 tritt um die Achse senkrecht zur Winkelhalbierenden auf (durch die beiden Schenkelenden), das kleinste I_2 um die Winkelhalbierende selbst, die Knickachse eines gleichschenkligen Winkelstabs.
Welche Vorzeichenkonvention gilt für das Deviationsmoment?
I_xy = ∫x·y dA mit x und y vom Schwerpunkt aus, ohne Minuszeichen, die Konvention von Hibbeler, Gere und Roark. Bei einem Winkel, dessen Schenkel von der Ecke aus in +x und +y verlaufen, liegt der Großteil der Fläche im zweiten und vierten Quadranten bezogen auf den Schwerpunkt, I_xy wird also negativ; der Hauptachsenwinkel θp = ½·atan2(−2·I_xy, I_x − I_y) wird dann gegen den Uhrzeigersinn von der x-Achse zur Achse von I_1 gemessen.
Welchen Trägheitsradius verwende ich für einen Winkelstab?
Den kleinsten, r_2 = √(I_2/A) um die kleine Hauptachse, sofern der Winkel in dieser Richtung nicht gegen Knicken gehalten ist. Er ist deutlich kleiner als r_x oder r_y, bei einem Winkel 100 × 65 × 8 etwa r_2 ≈ 14,2 mm gegenüber r_y ≈ 18,6 mm, ein schenkelparalleler Radius würde die Knicklast also überschätzen.
Wie verhalten sich die Ergebnisse zu den Tabellen gewalzter Winkel?
Fläche, Schwerpunkt und I_x / I_y liegen innerhalb von ein bis zwei Prozent (die Ausrundung fügt nahe der Ecke etwas Material hinzu). Tabellen geben die Hauptträgheitsmomente als I_u / I_v und den Winkel als tan α vom langen Schenkel zur kleinen Hauptachse an, derselbe Winkel wie θp auf dieser Seite bei senkrecht stehendem langem Schenkel.
Quellen & weiterführende Informationen
- Flächenträgheitsmoment — Wikipedia — Definition, Steinerscher Satz und Vorzeichenkonvention des Deviationsmoments.
- Trägheitsradius — Wikipedia — r = √(I/A) und seine Rolle im Schlankheitsgrad beim Knicken von Stützen.
- Schubmittelpunkt — Wikipedia — der Punkt, durch den eine Querlast gehen muss, damit der Balken sich biegt, ohne zu tordieren.
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