Rechner für die Querschnittswerte des Quadrats
Gib die Seitenlänge eines Vierkant-Vollstabs ein und erhalte Fläche, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradius und Torsionsträgheitsmoment, mit maßstäblich gezeichnetem Querschnitt.
Abmessungen des Querschnitts
Gib die Abmessungen in der gewählten Einheit ein: Zeichnung und Ergebnisse aktualisieren sich während der Eingabe. Die Zeichnung verwendet Schwerpunktkoordinaten: Die kräftigen Gitterlinien sind die x- und y-Achse durch den Schwerpunkt C.
Querschnitt
- Querschnitt mit Bemaßung
- Schwerpunkt C, Schwerachsen x und y
- Hauptachsen 1 und 2, Winkel θp
- Schubmittelpunkt S
Der Vierkantstab ist der einfachste Querschnitt mit nicht trivialem Torsionsträgheitsmoment: Anders als der Kreis bleibt ein Quadrat beim Verdrehen nicht eben, J ist also nicht das polare Moment. Die Lösung nach Saint-Venant liefert J ≈ 0,1406·a⁴ gegenüber Ip = a⁴/6 ≈ 0,1667·a⁴; mit dem polaren Moment würde man die Torsionssteifigkeit um etwa 19 % überschätzen.
In der Biegung ist das Quadrat isotrop: Jede Schwerachse hat dasselbe Flächenträgheitsmoment a⁴/12, die Hauptachsen sind unbestimmt und I1 = I2. Das Widerstandsmoment hängt dagegen von der Lage ab: Um eine Diagonale gebogen liegt die Randfaser √2-mal weiter entfernt, S sinkt um den Faktor √2.
So werden die Querschnittswerte berechnet: Quadrat
- Fläche
- A = a²
- Flächenträgheitsmoment
- Ix = Iy = a⁴ / 12
- Polares Moment
- Ip = a⁴ / 6
- Elastisches Widerstandsmoment
- S = a³ / 6
- Plastisches Widerstandsmoment
- Z = a³ / 4
- Trägheitsradius
- r = a / √12 ≈ 0,2887·a
- Torsionsträgheitsmoment (Saint-Venant)
- J ≈ 0,1406·a⁴
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen folgen aus Ix, Iy und Ixy mit I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] und tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); die Trägheitsradien sind r = √(I/A), die elastischen Widerstandsmomente S = I/c für jede Randfaser. Die Definitionen aller Größen stehen im Glossar der Übersichtsseite zu den Querschnittswerten.
Annahmen. Scharfe Kanten ohne Radius. Das Torsionsträgheitsmoment ist Roarks geschlossene Näherung der Saint-Venant-Lösung, auf etwa 1 % genau.
Weitere Querschnitte
Häufig gestellte Fragen
Warum ist das Flächenträgheitsmoment um jede Achse durch den Mittelpunkt gleich?
Das Quadrat hat zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen mit gleichen Flächenträgheitsmomenten, wodurch der Trägheitstensor in der Ebene isotrop ist: I_x = I_y und I_xy = 0 für jede Drehung. Dasselbe gilt für jedes regelmäßige Vieleck und für den Kreis.
Ist ein Vierkantstab steifer als ein Rundstab gleicher Breite?
Ja. Mit a = d ist I_Quadrat = a⁴/12 ≈ 0,0833·a⁴ gegenüber I_Kreis = πd⁴/64 ≈ 0,0491·d⁴, das Quadrat ist also etwa 70 % biegesteifer, hat aber auch 27 % mehr Fläche. Bei gleicher Fläche liegen beide innerhalb von 5 %.
Wo liegt die größte Torsionsschubspannung einer Vierkantwelle?
In der Mitte jeder Seite, nicht in den Ecken: Die Ecken sind spannungsfrei. Roark gibt τ_max ≈ 4,81·T/a³ für das Vollquadrat an, und genau deshalb ist die Abkürzung über das polare Moment τ = T·r/I_p bei nicht kreisförmigen Wellen falsch.
Quellen & weiterführende Informationen
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — geschlossene Formeln für Ix und Iy der gängigen Formen, gegen die dieser Rechner geprüft wurde.
- Torsionsträgheitsmoment — Wikipedia — warum J bei nicht kreisförmigen Querschnitten vom polaren Moment abweicht, mit den Formeln für dünnwandige Profile.
- Widerstandsmoment — Wikipedia — elastisches und plastisches Widerstandsmoment mit Formeln für die gängigen Querschnitte.
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