Rechner für die Querschnittswerte des Trapezes
Gib obere Seite, untere Seite und Höhe eines gleichschenkligen Trapezes ein und erhalte Fläche, Schwerpunkt, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente für beide Randfasern und Trägheitsradien, mit maßstäblich gezeichnetem Querschnitt.
Abmessungen des Querschnitts
Gib die Abmessungen in der gewählten Einheit ein: Zeichnung und Ergebnisse aktualisieren sich während der Eingabe. Die Zeichnung verwendet Schwerpunktkoordinaten: Die kräftigen Gitterlinien sind die x- und y-Achse durch den Schwerpunkt C.
Querschnitt
- Querschnitt mit Bemaßung
- Schwerpunkt C, Schwerachsen x und y
- Hauptachsen 1 und 2, Winkel θp
- Schubmittelpunkt S
Trapezquerschnitte treten überall dort auf, wo sich ein Bauteil verjüngt: Schwalbenschwanzführungen, Werkzeugmaschinenbetten, Keilriemenprofile, Betonbalken und Stützmauern, die Flansche von U-Profilen mit geneigten Flanschen. Wie Dreieck und Halbkreis hat das Trapez einen außermittigen Schwerpunkt, näher an der breiten Seite, sodass sich die Widerstandsmomente an den beiden Randfasern unterscheiden.
Mit a = b liefert der Rechner das Rechteck, mit a = 0 das gleichschenklige Dreieck; die Formeln unten decken den gesamten Bereich ab. Die Form ist symmetrisch zur senkrechten Achse, daher Ixy = 0, und die Schwerachsen x und y sind Hauptachsen.
So werden die Querschnittswerte berechnet: Trapez
- Fläche
- A = (a + b)·h / 2
- Schwerpunkt über der unteren Seite
- ȳ = h·(2·a + b) / (3·(a + b))
- Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse x
- Ix = h³·(a² + 4·a·b + b²) / (36·(a + b))
- Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse y
- Iy = h·(a + b)·(a² + b²) / 48
- Elastische Widerstandsmomente um x
- Sx,top = Ix / (h − ȳ), Sx,bot = Ix / ȳ
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen folgen aus Ix, Iy und Ixy mit I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] und tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); die Trägheitsradien sind r = √(I/A), die elastischen Widerstandsmomente S = I/c für jede Randfaser. Die Definitionen aller Größen stehen im Glossar der Übersichtsseite zu den Querschnittswerten.
Annahmen. Gleichschenkliges Trapez: Die beiden Parallelseiten sind waagerecht und mittig zueinander. Ein schiefes Trapez hat ein Deviationsmoment und gedrehte Hauptachsen, die diese Seite nicht abdeckt. Kein Torsionsträgheitsmoment.
Weitere Querschnitte
Häufig gestellte Fragen
Wo liegt der Schwerpunkt eines Trapezes?
Bei ȳ = h·(2a + b)/(3(a + b)) über der breiteren Seite b. Prüfen Sie die Grenzfälle: a = b ergibt h/2 (Rechteck), a = 0 ergibt h/3 (Dreieck). Der Rechner bemaßt ȳ rechts neben dem Querschnitt, damit die Lage auf einen Blick sichtbar ist.
Kann ich ein Trapez eingeben, das oben breiter ist?
Ja, einfach a größer als b wählen. Der Querschnitt ist dann lediglich umgedreht; ȳ wird weiterhin vom unteren Rand aus gemessen und fällt dann größer als h/2 aus.
Welches Widerstandsmoment soll ich verwenden?
Das kleinere, es sei denn, Sie wissen, welche Randfaser maßgebend ist. Die weiter vom Schwerpunkt entfernte Randfaser, die schmale Seite, hat das kleinere S und damit bei gegebenem Moment die höhere Biegespannung. Bei einem duktilen Werkstoff unter reiner Biegung ist das kleinere S maßgebend.
Quellen & weiterführende Informationen
- Geometrischer Schwerpunkt — Wikipedia — Schwerpunktlagen der elementaren ebenen Flächen.
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — geschlossene Formeln für Ix und Iy der gängigen Formen, gegen die dieser Rechner geprüft wurde.
- Widerstandsmoment — Wikipedia — elastisches und plastisches Widerstandsmoment mit Formeln für die gängigen Querschnitte.
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