Rechner für die Querschnittswerte des Halbkreises
Gib den Radius eines Halbrundquerschnitts ein und erhalte Fläche, Schwerpunkt, Flächenträgheitsmomente um die Schwerachsen, Widerstandsmomente für beide Randfasern und Trägheitsradien, mit maßstäblich gezeichnetem Querschnitt.
Abmessungen des Querschnitts
Gib die Abmessungen in der gewählten Einheit ein: Zeichnung und Ergebnisse aktualisieren sich während der Eingabe. Die Zeichnung verwendet Schwerpunktkoordinaten: Die kräftigen Gitterlinien sind die x- und y-Achse durch den Schwerpunkt C.
Querschnitt
- Querschnitt mit Bemaßung
- Schwerpunkt C, Schwerachsen x und y
- Hauptachsen 1 und 2, Winkel θp
- Schubmittelpunkt S
Der Halbkreis ist die klassische Übungsaufgabe zur Schwerpunktlage: Er liegt bei 4r/(3π) ≈ 0,4244·r über der ebenen Kante, nicht in der Mitte. Und er ist ein realer Querschnitt: Halbrundstäbe, D-Wellen (näherungsweise), der Steg eines genuteten Profils, die Hälften einer geteilten Buchse.
Weil der Schwerpunkt außermittig liegt, hat der Querschnitt zwei verschiedene elastische Widerstandsmomente um die x-Achse: Die ebene Randfaser liegt 0,4244·r von der neutralen Faser entfernt, der Scheitel des Bogens 0,5756·r. Die Biegespannung ist am Scheitel höher. Der Rechner gibt beide Werte an und ermittelt das plastische Widerstandsmoment um x numerisch, da die flächenhalbierende Achse keine geschlossene Form hat.
So werden die Querschnittswerte berechnet: Halbkreis
- Fläche
- A = π·r² / 2
- Schwerpunkt über der ebenen Kante
- ȳ = 4·r / (3·π) ≈ 0,4244·r
- Flächenträgheitsmoment um die ebene Kante
- Ibase = π·r⁴ / 8
- Flächenträgheitsmomente um die Schwerachsen
- Ix = (π/8 − 8/(9π))·r⁴ ≈ 0,1098·r⁴, Iy = π·r⁴ / 8
- Elastische Widerstandsmomente um x
- Sx,top = Ix / (r − ȳ), Sx,bot = Ix / ȳ
- Plastisches Widerstandsmoment um y
- Zy = 2·r³ / 3
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen folgen aus Ix, Iy und Ixy mit I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] und tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); die Trägheitsradien sind r = √(I/A), die elastischen Widerstandsmomente S = I/c für jede Randfaser. Die Definitionen aller Größen stehen im Glossar der Übersichtsseite zu den Querschnittswerten.
Annahmen. Ebene Seite unten, Bogen oben. Z_x wird numerisch aus der flächenhalbierenden Achse berechnet (etwa 0,354·r³); für diese Form wird kein Torsionsträgheitsmoment angegeben.
Weitere Querschnitte
Häufig gestellte Fragen
Warum ist das I_x um die Schwerachse so viel kleiner als πr⁴/8?
πr⁴/8 ist das Flächenträgheitsmoment um die ebene Kante (den Durchmesser). Beim Übergang auf den Schwerpunkt mit dem Steinerschen Satz wird A·ȳ² = (πr²/2)·(4r/3π)² ≈ 0,283·r⁴ abgezogen, übrig bleiben etwa 0,110·r⁴: Der Schwerachsenwert ist stets das Minimum über alle parallelen Achsen.
Welche Randfaser ist bei einem Halbrundstab für die Biegespannung maßgebend?
Der gewölbte Scheitel, der weiter von der neutralen Faser entfernt liegt (0,5756·r gegenüber 0,4244·r der ebenen Seite). Bei gleichem Biegemoment ist die Spannung am Scheitel etwa 36 % höher als an der ebenen Seite; S_x,top verwenden, wenn der Scheitel je nach Fall gezogen oder gedrückt wird.
Liefert der Rechner das Torsionsträgheitsmoment eines Halbkreises?
Nein. Die Saint-Venant-Torsion eines Halbkreisquerschnitts hat keine einfache geschlossene Form (Roark gibt aus Reihenlösungen J ≈ 0,296·r⁴ an). Das polare Moment I_p in den Ergebnissen ist I_x + I_y und darf nicht als J verwendet werden.
Quellen & weiterführende Informationen
- Geometrischer Schwerpunkt — Wikipedia — Schwerpunktlagen der elementaren ebenen Flächen.
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — geschlossene Formeln für Ix und Iy der gängigen Formen, gegen die dieser Rechner geprüft wurde.
- Flächenträgheitsmoment — Wikipedia — Definition, Steinerscher Satz und Vorzeichenkonvention des Deviationsmoments.
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