Rechner für die Querschnittswerte des Rechtecks
Gib Breite und Höhe eines Rechteckstabs, Flachstahls oder Rechteckbalkens ein und erhalte Fläche, Flächenträgheitsmomente, Widerstandsmomente, Trägheitsradien und Torsionsträgheitsmoment, mit maßstäblich gezeichnetem Querschnitt.
Abmessungen des Querschnitts
Gib die Abmessungen in der gewählten Einheit ein: Zeichnung und Ergebnisse aktualisieren sich während der Eingabe. Die Zeichnung verwendet Schwerpunktkoordinaten: Die kräftigen Gitterlinien sind die x- und y-Achse durch den Schwerpunkt C.
Querschnitt
- Querschnitt mit Bemaßung
- Schwerpunkt C, Schwerachsen x und y
- Hauptachsen 1 und 2, Winkel θp
- Schubmittelpunkt S
Das Rechteck ist der Referenzquerschnitt der Festigkeitslehre: Ix = bh³/12 ist die erste Formel, die jeder Ingenieur lernt, und mit dem Steinerschen Satz wird jeder I-Träger, jedes U-Profil und jeder Kasten zu einer Summe von Rechtecken. Die kubische Abhängigkeit von der Höhe ist der ganze Grund, warum Träger hoch und schmal sind: Die doppelte Höhe verachtfacht die Biegesteifigkeit und vervierfacht die Tragfähigkeit.
Der Rechner liefert außerdem das plastische Widerstandsmoment Z = bh²/4 (das 1,5-Fache des elastischen S = bh²/6, der „Formfaktor“ des Rechtecks) und Roarks Torsionsträgheitsmoment, das für ein dünnes Blech gegen den Streifenwert J ≈ b·t³/3 strebt.
So werden die Querschnittswerte berechnet: Rechteck
- Fläche
- A = b·h
- Flächenträgheitsmomente
- Ix = b·h³ / 12, Iy = h·b³ / 12
- Elastische Widerstandsmomente
- Sx = b·h² / 6, Sy = h·b² / 6
- Plastische Widerstandsmomente
- Zx = b·h² / 4, Zy = h·b² / 4
- Trägheitsradien
- rx = h / √12, ry = b / √12
- Torsionsträgheitsmoment (Roark)
- J ≈ a·b³·[1/3 − 0,21·(b/a)·(1 − b⁴/12a⁴)], a = lange Seite, b = kurze Seite
Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen folgen aus Ix, Iy und Ixy mit I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] und tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); die Trägheitsradien sind r = √(I/A), die elastischen Widerstandsmomente S = I/c für jede Randfaser. Die Definitionen aller Größen stehen im Glossar der Übersichtsseite zu den Querschnittswerten.
Annahmen. Scharfe Kanten. Das Torsionsträgheitsmoment ist Roarks Näherung der Saint-Venant-Lösung (etwa 1 % Genauigkeit); für sehr dünne Streifen konvergiert es gegen a·b³/3.
Weitere Querschnitte
Häufig gestellte Fragen
Welche Achse ist die „starke Achse“ eines Rechtecks?
Die Achse parallel zur kurzen Seite, also die, um die gebogen wird, wenn die lange Seite senkrecht steht. Mit b = 50 und h = 100 ist I_x = 4,17·10⁶ mm⁴, I_y aber nur 1,04·10⁶ mm⁴, ein Faktor (h/b)² = 4. Der Rechner gibt den Hauptachsenwinkel 0° an, wenn x die starke Achse ist, und 90°, wenn es y ist.
Was ist der Formfaktor eines Rechtecks?
Z/S = (bh²/4)/(bh²/6) = 1,5. Er ist das Verhältnis von vollplastischem Moment zum Moment beim ersten Fließen und der höchste unter den gängigen Bauquerschnitten (I-Träger liegen bei etwa 1,10–1,15), weil beim Rechteck viel Material nahe der neutralen Faser sitzt, wo es erst nach dem Fließen mitträgt.
Kann ich bh³/12 für ein Blech unter Torsion verwenden?
Nein: bh³/12 ist eine Biegegröße. Für ein Blech der Breite a und Dicke t unter Torsion gilt J ≈ a·t³/3, viermal weniger, als das polare Moment für einen dünnen Streifen nahelegen würde. Die Zeile Torsionsträgheitsmoment in den Ergebnissen liefert den Wert nach Roark, der für jedes Seitenverhältnis gilt.
Quellen & weiterführende Informationen
- Flächenträgheitsmoment — Wikipedia — Definition, Steinerscher Satz und Vorzeichenkonvention des Deviationsmoments.
- Widerstandsmoment — Wikipedia — elastisches und plastisches Widerstandsmoment mit Formeln für die gängigen Querschnitte.
- Torsionsträgheitsmoment — Wikipedia — warum J bei nicht kreisförmigen Querschnitten vom polaren Moment abweicht, mit den Formeln für dünnwandige Profile.
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