Calculateur des Caractéristiques de la Section Rectangulaire

Saisissez la largeur et la hauteur d’une barre, d’un plat ou d’une poutre rectangulaire et obtenez son aire, ses moments quadratiques, ses modules de flexion, ses rayons de giration et sa constante de torsion, avec la section dessinée à l’échelle.

Dimensions de la section

Saisissez les dimensions dans l’unité choisie : le dessin et les résultats se mettent à jour pendant la saisie. Le dessin utilise des coordonnées centrales : les lignes de grille épaisses sont les axes x et y passant par le centre de gravité C.

Unité de longueur

b — Largeur mm h — Hauteur mm

Section

Section avec ses cotes
Centre de gravité C, axes centraux x et y
Axes principaux 1 et 2, angle θ_p
Centre de cisaillement S

Résultats

Résultats en

Aire et centre de gravité

Aire de la sectionA5,000mm²

Centre de gravité depuis le bord gauchex̄25mm

Centre de gravité depuis le bord inférieurȳ50mm

Moments quadratiques (axes centraux)

Par rapport à l’axe xI_x4,166,700mm⁴

Par rapport à l’axe yI_y1,041,700mm⁴

Produit d’inertieI_xy0mm⁴

Moment quadratique polaireI_x + I_yI_p5,208,300mm⁴

Axes principaux

Moment principal maximalI₁4,166,700mm⁴

Moment principal minimalI₂1,041,700mm⁴

Angle de x vers l’axe 1 (sens trigonométrique)axe 1 = x, axe 2 = yθ_p0.00°

Modules de flexion

Module de flexion élastique par rapport à xS_x83,333mm³

Module de flexion élastique par rapport à yS_y41,667mm³

Module de flexion plastique par rapport à xZ_x125,000mm³

Module de flexion plastique par rapport à yZ_y62,500mm³

Rayons de giration

Par rapport à l’axe xr_x28.868mm

Par rapport à l’axe yr_y14.434mm

Distances aux fibres extrêmes

Du centre de gravité à la fibre supérieure / inférieurec_y50mm

Du centre de gravité à la fibre gauche / droitec_x25mm

Torsion et centre de cisaillement

Constante de torsionFormule de Roark pour le rectangle plein, J ≈ a·b³·[1/3 − 0,21·(b/a)·(1 − b⁴/12a⁴)] avec a le grand côté (précision d’environ 1 %).J2,861,000mm⁴

Le rectangle est la section de référence de la résistance des matériaux : I_x = bh³/12 est la première formule que tout ingénieur apprend, et le théorème de Huygens transforme toute poutre en I, en U ou en caisson en une somme de rectangles. La dépendance cubique en la hauteur est la raison même pour laquelle les poutres sont hautes et étroites : doubler la hauteur multiplie la rigidité en flexion par huit et la résistance par quatre.

Le calculateur donne aussi le module de flexion plastique Z = bh²/4 (1,5 fois le module élastique S = bh²/6, le « facteur de forme » du rectangle) et la constante de torsion de Roark, qui pour un plat mince tend vers la valeur de la bande J ≈ b·t³/3.

Comment sont calculées les caractéristiques : rectangle

Aire: A = b·h
Moments quadratiques: I_x = b·h³ / 12, I_y = h·b³ / 12
Modules de flexion élastiques: S_x = b·h² / 6, S_y = h·b² / 6
Modules de flexion plastiques: Z_x = b·h² / 4, Z_y = h·b² / 4
Rayons de giration: r_x = h / √12, r_y = b / √12
Constante de torsion (Roark): J ≈ a·b³·[1/3 − 0,21·(b/a)·(1 − b⁴/12a⁴)], a = grand côté, b = petit côté

Les moments et axes principaux découlent de I_x, I_y et I_xy par I_1,2 = (I_x + I_y)/2 ± √[((I_x − I_y)/2)² + I_xy²] et tan 2θ_p = −2·I_xy/(I_x − I_y) ; les rayons de giration sont r = √(I/A) et les modules de flexion élastiques S = I/c pour chaque fibre extrême. Les définitions de toutes les caractéristiques sont dans le glossaire de la page générale des caractéristiques des sections.

Hypothèses. Angles vifs. La constante de torsion est l’approximation de Roark de la solution de Saint-Venant (précision d’environ 1 %) ; pour les bandes très minces elle converge vers a·b³/3.

Autres sections

Questions fréquentes

Quel est l’« axe fort » d’un rectangle ?

L’axe parallèle au petit côté, c’est-à-dire celui autour duquel on fléchit lorsque le grand côté est vertical. Avec b = 50 et h = 100, I_x = 4,17·10⁶ mm⁴ alors que I_y ne vaut que 1,04·10⁶ mm⁴ : un facteur (h/b)² = 4. Le calculateur indique un angle principal de 0° quand x est l’axe fort et de 90° quand c’est y.

Quel est le facteur de forme d’un rectangle ?

Z/S = (bh²/4)/(bh²/6) = 1,5. C’est le rapport entre le moment plastique complet et le moment de première plastification, et c’est le plus élevé des sections structurales courantes (les poutres en I sont autour de 1,10–1,15), parce qu’une grande part de la matière du rectangle se trouve près de l’axe neutre, où elle ne travaille qu’après plastification.

Puis-je utiliser bh³/12 pour un plat en torsion ?

Non : bh³/12 est une caractéristique de flexion. Pour un plat de largeur a et d’épaisseur t en torsion, J ≈ a·t³/3, quatre fois moins que ce que suggérerait le moment polaire pour une bande mince. La ligne « constante de torsion » des résultats donne la valeur de Roark, valable pour tout élancement.

Références et pour aller plus loin

Moment quadratique — Wikipédia — définition, théorème de Huygens et convention de signe du produit d’inertie.
Module de flexion — Wikipédia — module de flexion élastique et plastique, avec les formules des sections courantes.
Torsion constant — Wikipedia (EN) — pourquoi J diffère du moment polaire pour les sections non circulaires, avec les formules en parois minces.

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