Calculateur des Caractéristiques de la Cornière en L
Saisissez les longueurs des deux ailes et l’épaisseur d’une cornière à ailes égales ou inégales et obtenez son aire, son centre de gravité, ses moments quadratiques, son produit d’inertie, ses axes principaux, son rayon de giration minimal, ses modules de flexion, sa constante de torsion et son centre de cisaillement, avec la section dessinée à l’échelle.
Dimensions de la section
Saisissez les dimensions dans l’unité choisie : le dessin et les résultats se mettent à jour pendant la saisie. Le dessin utilise des coordonnées centrales : les lignes de grille épaisses sont les axes x et y passant par le centre de gravité C.
Section
- Section avec ses cotes
- Centre de gravité C, axes centraux x et y
- Axes principaux 1 et 2, angle θp
- Centre de cisaillement S
La cornière est l’exemple type de section à axes principaux tournés : elle n’a aucun axe de symétrie parallèle à ses ailes, donc le produit d’inertie Ixy n’est pas nul, et les vrais moments quadratiques maximal et minimal s’obtiennent autour d’un couple d’axes inclinés d’un angle θp par rapport aux ailes, exactement 45° pour une cornière à ailes égales, moins pour une cornière à ailes inégales. Fléchir une cornière autour d’un axe parallèle à une aile produit une flèche dans les deux directions.
Pour une cornière simple utilisée en barre comprimée, c’est le rayon de giration minimal r2 = √(I2/A) autour de l’axe principal mineur qui gouverne le flambement, et non rx ou ry : le calculateur donne les deux rayons principaux dès que les axes sont tournés. Le dessin montre les axes principaux en vert et le centre de cisaillement S au coin où se rencontrent les lignes moyennes des ailes.
Comment sont calculées les caractéristiques : cornière en l
- Aire
- A = t·(a + b − t)
- Centre de gravité depuis le coin extérieur
- x̄ = [b²·t + (a − t)·t²] / (2·A), ȳ = [a²·t + (b − t)·t²] / (2·A)
- Moments quadratiques autour des axes centraux
- Ix, Iy par le théorème de Huygens sur les deux rectangles des ailes (aile verticale t × a, aile horizontale (b − t) × t)
- Produit d’inertie
- Ixy = Σ Ai·(xi − x̄)·(yi − ȳ) sur les deux rectangles
- Angle principal
- tan 2θp = −2·Ixy / (Ix − Iy)
- Moments principaux
- I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²]
- Constante de torsion (parois minces)
- J ≈ (a + b − t)·t³ / 3
Les moments et axes principaux découlent de Ix, Iy et Ixy par I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] et tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy) ; les rayons de giration sont r = √(I/A) et les modules de flexion élastiques S = I/c pour chaque fibre extrême. Les définitions de toutes les caractéristiques sont dans le glossaire de la page générale des caractéristiques des sections.
Hypothèses. Angles vifs : sans congé de raccordement ni arrondi des extrémités. Les cornières laminées ont A et I légèrement supérieurs (1 à 3 %) et un centre de cisaillement très proche de l’intersection des ailes. La constante de torsion est l’approximation des sections ouvertes en parois minces.
Autres sections
Questions fréquentes
Pourquoi l’angle principal d’une cornière à ailes égales vaut-il exactement 45° ?
Parce qu’une cornière à ailes égales est symétrique par rapport à sa bissectrice : un axe de symétrie est toujours principal, et la bissectrice est à 45° des deux ailes. Le moment quadratique maximal I_1 s’obtient autour de l’axe perpendiculaire à la bissectrice (passant par les deux extrémités), le minimal I_2 autour de la bissectrice elle-même, qui est l’axe de flambement d’une barre en cornière à ailes égales.
Quelle est la convention de signe du produit d’inertie ?
I_xy = ∫x·y dA avec x et y mesurés depuis le centre de gravité, sans signe moins : la convention de Hibbeler, Gere et Roark. Pour une cornière dont les ailes suivent +x et +y depuis le coin, l’essentiel de l’aire se trouve dans les deuxième et quatrième quadrants par rapport au centre de gravité, si bien que I_xy ressort négatif ; l’angle principal θp = ½·atan2(−2·I_xy, I_x − I_y) est alors mesuré dans le sens trigonométrique depuis l’axe x vers l’axe de I_1.
Quel rayon de giration utiliser pour une barre en cornière ?
Le minimal, r_2 = √(I_2/A) autour de l’axe principal mineur, sauf si la cornière est maintenue contre le flambement dans cette direction. Il est nettement plus petit que r_x ou r_y : pour une cornière 100 × 65 × 8, r_2 ≈ 14,2 mm contre r_y ≈ 18,6 mm, de sorte qu’un rayon parallèle aux ailes surestimerait la charge critique.
Comment les résultats se comparent-ils aux tableaux de cornières laminées ?
L’aire, le centre de gravité et I_x / I_y sont à un ou deux pour cent près (le congé ajoute un peu de matière près du coin). Les tableaux donnent les moments principaux sous la forme I_u / I_v et l’angle sous la forme tan α mesuré depuis la grande aile vers l’axe mineur, le même angle que θp sur cette page pour une cornière dont la grande aile est verticale.
Références et pour aller plus loin
- Moment quadratique — Wikipédia — définition, théorème de Huygens et convention de signe du produit d’inertie.
- Rayon de giration — Wikipédia — r = √(I/A) et son rôle dans l’élancement pour le flambement des poteaux.
- Centre de cisaillement — Wikipédia — le point par lequel doit passer une charge transversale pour fléchir la poutre sans la tordre.
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