Calculateur des Caractéristiques de la Section Triangulaire

Saisissez la base, la hauteur et la position horizontale du sommet pour décrire n’importe quel triangle, isocèle, rectangle ou scalène, et obtenez son aire, son centre de gravité, ses moments quadratiques, son produit d’inertie, ses axes principaux et ses modules de flexion, avec la section dessinée à l’échelle.

Dimensions de la section

Saisissez les dimensions dans l’unité choisie : le dessin et les résultats se mettent à jour pendant la saisie. Le dessin utilise des coordonnées centrales : les lignes de grille épaisses sont les axes x et y passant par le centre de gravité C.

Unité de longueur

b — Base mm h — Hauteur mm c — Position du sommet depuis le coin gauche mm

Section

Section avec ses cotes
Centre de gravité C, axes centraux x et y
Axes principaux 1 et 2, angle θ_p
Centre de cisaillement S

Résultats

Résultats en

Aire et centre de gravité

Aire de la sectionA2,400mm²

Centre de gravité depuis le bord gauchex̄40mm

Centre de gravité depuis le bord inférieurȳ20mm

Moments quadratiques (axes centraux)

Par rapport à l’axe xI_x480,000mm⁴

Par rapport à l’axe yI_y640,000mm⁴

Produit d’inertieI_xy0mm⁴

Moment quadratique polaireI_x + I_yI_p1,120,000mm⁴

Axes principaux

Moment principal maximalI₁640,000mm⁴

Moment principal minimalI₂480,000mm⁴

Angle de x vers l’axe 1 (sens trigonométrique)axe 1 = y, axe 2 = xθ_p90.00°

Modules de flexion

Module de flexion élastique par rapport à x, fibre supérieureS_x,top12,000mm³

Module de flexion élastique par rapport à x, fibre inférieureS_x,bot24,000mm³

Module de flexion élastique par rapport à yS_y16,000mm³

Module de flexion plastique par rapport à xZ_x28,118mm³

Module de flexion plastique par rapport à yZ_y32,000mm³

Rayons de giration

Par rapport à l’axe xr_x14.142mm

Par rapport à l’axe yr_y16.33mm

Distances aux fibres extrêmes

Du centre de gravité à la fibre supérieurec_top40mm

Du centre de gravité à la fibre inférieurec_bot20mm

Du centre de gravité à la fibre gauche / droitec_x40mm

Le triangle est la première section où le produit d’inertie compte. Un triangle isocèle (sommet au-dessus du milieu de la base, c = b/2) a I_xy = 0 et ses axes de symétrie sont principaux ; déplacez le sommet vers un coin pour obtenir un triangle rectangle et I_xy = −b²h²/72 apparaît, faisant tourner les axes principaux par rapport à l’horizontale et à la verticale. Le dessin montre cette rotation en direct lorsque vous déplacez le sommet.

Quelle que soit la position du sommet, le centre de gravité reste au tiers de la hauteur au-dessus de la base et I_x = bh³/36 autour de l’axe central parallèle à la base : seuls I_y et I_xy varient avec c. Posez c = 0 ou c = b pour un triangle rectangle, c < 0 ou c > b pour un triangle obtusangle.

Comment sont calculées les caractéristiques : triangle

Aire: A = b·h / 2
Centre de gravité: x̄ = (b + c) / 3 depuis le coin gauche, ȳ = h / 3
Moment quadratique autour de l’axe central x: I_x = b·h³ / 36
Moment quadratique autour de l’axe central y: I_y = b·h·(b² − b·c + c²) / 36
Produit d’inertie: I_xy = b·h²·(2·c − b) / 72 (nul pour un triangle isocèle)
Moments principaux: I_1,2 = (I_x + I_y)/2 ± √[((I_x − I_y)/2)² + I_xy²]

Les moments et axes principaux découlent de I_x, I_y et I_xy par I_1,2 = (I_x + I_y)/2 ± √[((I_x − I_y)/2)² + I_xy²] et tan 2θ_p = −2·I_xy/(I_x − I_y) ; les rayons de giration sont r = √(I/A) et les modules de flexion élastiques S = I/c pour chaque fibre extrême. Les définitions de toutes les caractéristiques sont dans le glossaire de la page générale des caractéristiques des sections.

Hypothèses. Base horizontale en bas. La position du sommet c se mesure depuis le coin gauche de la base ; elle peut être négative ou supérieure à b. Aucune constante de torsion n’est donnée (seul le triangle équilatéral a une expression fermée simple).

Autres sections

Questions fréquentes

Pourquoi le moment quadratique central vaut-il bh³/36 et non bh³/12 ?

bh³/12 est le moment quadratique d’un triangle par rapport à sa base. Le passage au centre de gravité, à h/3 au-dessus de la base, retranche A·(h/3)² = (bh/2)(h²/9) = bh³/18, et il reste bh³/36. Les valeurs par rapport à la base et au sommet (bh³/4) sont utiles pour combiner un triangle avec d’autres formes, mais les contraintes de flexion exigent toujours la valeur centrale.

Que signifie l’angle principal pour un triangle rectangle ?

Pour un triangle rectangle, les axes centraux horizontal et vertical ne sont pas principaux : comme I_xy ≠ 0, un moment appliqué autour de l’axe x produit aussi une courbure autour de y (flexion déviée). Les axes principaux sont le couple d’axes perpendiculaires passant par le centre de gravité pour lesquels I_xy = 0 ; la flexion autour de ces axes se découple. Le calculateur les trace en vert avec l’angle θp mesuré dans le sens trigonométrique depuis x.

Comment saisir un triangle équilatéral ?

Posez h = b·√3/2 ≈ 0,866·b et c = b/2. Pour b = 100, cela donne h = 86,6 et c = 50. Les résultats montrent alors I_x = I_y et un angle principal de 0°, un polygone régulier étant isotrope en flexion.

Références et pour aller plus loin

Centre de gravité — Wikipédia — position du centre de gravité des figures planes élémentaires.
List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formules fermées de Ix et Iy pour les formes courantes, utilisées pour vérifier ce calculateur.
Moment quadratique — Wikipédia — définition, théorème de Huygens et convention de signe du produit d’inertie.

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