Calcolatore delle Proprietà della Sezione Semicircolare
Inserisci il raggio di una sezione a mezzotondo e ottieni area, baricentro, momenti d’inerzia rispetto agli assi baricentrici, moduli di resistenza per entrambe le fibre e raggi d’inerzia, con la sezione disegnata in scala.
Dimensioni della sezione
Inserisci le dimensioni nell’unità selezionata: disegno e risultati si aggiornano mentre scrivi. Il disegno usa coordinate baricentriche: le linee di griglia marcate sono gli assi x e y passanti per il baricentro C.
Sezione
- Sezione con le sue quote
- Baricentro C, assi baricentrici x e y
- Assi principali 1 e 2, angolo θp
- Centro di taglio S
Il semicerchio è l’esercizio classico sulla posizione del baricentro: sta a 4r/(3π) ≈ 0,4244·r sopra il lato piano, non a metà. Ed è anche una sezione reale: barre a mezzotondo, alberi a D (in prima approssimazione), l’anima di un profilo chiavettato, le metà di una bronzina spaccata.
Con il baricentro fuori centro, la sezione ha due moduli di resistenza diversi rispetto all’asse x: la fibra piana dista 0,4244·r dall’asse neutro, la sommità dell’arco 0,5756·r. La tensione di flessione è più alta in sommità. Il calcolatore riporta entrambi i moduli e trova per via numerica il modulo plastico rispetto a x, perché l’asse di uguale area non ha forma chiusa.
Come si calcolano le proprietà: semicerchio
- Area
- A = π·r² / 2
- Baricentro sopra il lato piano
- ȳ = 4·r / (3·π) ≈ 0,4244·r
- Momento d’inerzia rispetto al lato piano
- Ibase = π·r⁴ / 8
- Momenti d’inerzia baricentrici
- Ix = (π/8 − 8/(9π))·r⁴ ≈ 0,1098·r⁴, Iy = π·r⁴ / 8
- Moduli di resistenza elastici rispetto a x
- Sx,top = Ix / (r − ȳ), Sx,bot = Ix / ȳ
- Modulo di resistenza plastico rispetto a y
- Zy = 2·r³ / 3
Momenti e assi principali derivano da Ix, Iy e Ixy con I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] e tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); i raggi d’inerzia sono r = √(I/A) e i moduli di resistenza elastici S = I/c per ciascuna fibra estrema. Le definizioni di tutte le proprietà sono nel glossario della pagina generale sulle proprietà delle sezioni.
Ipotesi. Lato piano in basso, arco in alto. Z_x è calcolato numericamente dall’asse di uguale area (circa 0,354·r³); per questa forma non viene data la costante torsionale.
Altre sezioni
Domande frequenti
Perché I_x baricentrico è tanto più piccolo di πr⁴/8?
πr⁴/8 è il momento d’inerzia rispetto al lato piano (il diametro). Passando al baricentro con il teorema di trasporto si sottrae A·ȳ² = (πr²/2)·(4r/3π)² ≈ 0,283·r⁴, e resta circa 0,110·r⁴: il valore baricentrico è sempre il minimo tra tutti gli assi paralleli.
Quale fibra governa la tensione di flessione di un mezzotondo?
La sommità dell’arco, più lontana dall’asse neutro (0,5756·r contro 0,4244·r della faccia piana). A pari momento la tensione in sommità è circa il 36% più alta che sulla faccia piana; usare S_x,top quando è la sommità a essere tesa o compressa, a seconda del caso.
Il calcolatore dà la costante torsionale del semicerchio?
No. La torsione alla Saint-Venant di una sezione semicircolare non ha una forma chiusa semplice (Roark dà J ≈ 0,296·r⁴ da soluzioni in serie). Il momento polare I_p nei risultati è I_x + I_y e non va usato come J.
Riferimenti e approfondimenti
- Baricentro (geometria) — Wikipedia — posizione del baricentro delle figure piane elementari.
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formule chiuse di Ix e Iy per le forme comuni, usate per verificare questo calcolatore.
- Momento d’inerzia di superficie — Wikipedia — definizione, teorema di trasporto (Huygens-Steiner) e convenzione di segno del momento centrifugo.
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