Calcolatore delle Proprietà della Sezione Quadrata
Inserisci il lato di una barra quadra piena e ottieni area, momenti d’inerzia, moduli di resistenza, raggio d’inerzia e costante torsionale, con la sezione disegnata in scala.
Dimensioni della sezione
Inserisci le dimensioni nell’unità selezionata: disegno e risultati si aggiornano mentre scrivi. Il disegno usa coordinate baricentriche: le linee di griglia marcate sono gli assi x e y passanti per il baricentro C.
Sezione
- Sezione con le sue quote
- Baricentro C, assi baricentrici x e y
- Assi principali 1 e 2, angolo θp
- Centro di taglio S
La barra quadra è la sezione più semplice con una costante torsionale non banale: a differenza del cerchio, un quadrato non resta piano quando viene torto, quindi J non è il momento polare. La soluzione di Saint-Venant dà J ≈ 0,1406·a⁴, contro Ip = a⁴/6 ≈ 0,1667·a⁴: usare il momento polare sovrastimerebbe la rigidezza torsionale di circa il 19%.
A flessione il quadrato è isotropo: ogni asse baricentrico ha lo stesso momento d’inerzia a⁴/12, quindi gli assi principali sono indefiniti e I1 = I2. Il modulo di resistenza invece dipende dall’orientamento: inflesso attorno a una diagonale la fibra estrema è √2 volte più lontana, quindi S si riduce di un fattore √2.
Come si calcolano le proprietà: quadrato
- Area
- A = a²
- Momento d’inerzia
- Ix = Iy = a⁴ / 12
- Momento polare
- Ip = a⁴ / 6
- Modulo di resistenza elastico
- S = a³ / 6
- Modulo di resistenza plastico
- Z = a³ / 4
- Raggio d’inerzia
- r = a / √12 ≈ 0,2887·a
- Costante torsionale (Saint-Venant)
- J ≈ 0,1406·a⁴
Momenti e assi principali derivano da Ix, Iy e Ixy con I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] e tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); i raggi d’inerzia sono r = √(I/A) e i moduli di resistenza elastici S = I/c per ciascuna fibra estrema. Le definizioni di tutte le proprietà sono nel glossario della pagina generale sulle proprietà delle sezioni.
Ipotesi. Spigoli vivi, senza raggio. La costante torsionale è la formula chiusa di Roark che approssima la soluzione di Saint-Venant, precisa a circa l’1%.
Altre sezioni
Domande frequenti
Perché il momento d’inerzia è lo stesso per qualsiasi asse per il centro?
Il quadrato ha due assi di simmetria perpendicolari con momenti d’inerzia uguali, il che rende il tensore d’inerzia isotropo nel piano: I_x = I_y e I_xy = 0 per ogni rotazione. Vale per ogni poligono regolare e per il cerchio.
Una barra quadra è più rigida di una tonda della stessa larghezza?
Sì. Con a = d, I_quadrato = a⁴/12 ≈ 0,0833·a⁴ contro I_cerchio = πd⁴/64 ≈ 0,0491·d⁴, quindi il quadrato è circa il 70% più rigido a flessione, ma ha anche il 27% di area in più. A parità di area le due sezioni differiscono meno del 5%.
Dov’è la massima tensione tangenziale di torsione in un albero quadro?
A metà di ciascun lato, non negli spigoli: gli spigoli sono scarichi. Roark dà τ_max ≈ 4,81·T/a³ per il quadrato pieno, ed è per questo che la scorciatoia col momento polare τ = T·r/I_p è sbagliata per gli alberi non circolari.
Riferimenti e approfondimenti
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formule chiuse di Ix e Iy per le forme comuni, usate per verificare questo calcolatore.
- Torsion constant — Wikipedia (EN) — perché J differisce dal momento polare nelle sezioni non circolari, con le formule per pareti sottili.
- Modulo di resistenza — Wikipedia — modulo di resistenza elastico e plastico, con le formule per le sezioni più comuni.
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