Calcolatore delle Proprietà della Sezione Ellittica
Inserisci i due semiassi di una sezione ellittica e ottieni area, momenti d’inerzia, moduli di resistenza, raggi d’inerzia e costante torsionale, con la sezione disegnata in scala.
Dimensioni della sezione
Inserisci le dimensioni nell’unità selezionata: disegno e risultati si aggiornano mentre scrivi. Il disegno usa coordinate baricentriche: le linee di griglia marcate sono gli assi x e y passanti per il baricentro C.
Sezione
- Sezione con le sue quote
- Baricentro C, assi baricentrici x e y
- Assi principali 1 e 2, angolo θp
- Centro di taglio S
Le sezioni ellittiche compaiono nelle camme, nei tubi leggeri, nei montanti aerodinamici e ovunque una barra tonda venga schiacciata o un foro tagli un cilindro in obliquo. Le formule sono quelle del cerchio con a e b al posto di r: A = πab, Ix = πab³/4 (attorno all’asse parallelo ad a), e la sezione è isotropa solo quando a = b.
L’ellisse è anche una delle poche forme non circolari con costante torsionale esatta in forma chiusa, J = πa³b³/(a² + b²), utile come verifica dei metodi approssimati: per a = b si riduce a πr⁴/2 del cerchio, per un’ellisse molto allungata tende al valore della striscia sottile.
Come si calcolano le proprietà: ellisse
- Area
- A = π·a·b
- Momenti d’inerzia
- Ix = π·a·b³ / 4, Iy = π·a³·b / 4
- Moduli di resistenza elastici
- Sx = π·a·b² / 4, Sy = π·a²·b / 4
- Moduli di resistenza plastici
- Zx = 4·a·b² / 3, Zy = 4·a²·b / 3
- Raggi d’inerzia
- rx = b / 2, ry = a / 2
- Costante torsionale (esatta)
- J = π·a³·b³ / (a² + b²)
Momenti e assi principali derivano da Ix, Iy e Ixy con I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[((Ix − Iy)/2)² + Ixy²] e tan 2θp = −2·Ixy/(Ix − Iy); i raggi d’inerzia sono r = √(I/A) e i moduli di resistenza elastici S = I/c per ciascuna fibra estrema. Le definizioni di tutte le proprietà sono nel glossario della pagina generale sulle proprietà delle sezioni.
Ipotesi. Esatto per un’ellisse vera con semiassi a (lungo x) e b (lungo y). Inserire i semiassi, non larghezza e altezza complessive.
Altre sezioni
Domande frequenti
Devo inserire gli assi interi o i semiassi?
I semiassi: metà della larghezza complessiva (a) e metà dell’altezza complessiva (b), le stesse grandezze delle formule dei manuali. Il disegno quota a e b dal centro, così è chiaro quale sia quale.
Il momento polare di un’ellisse è uguale alla sua costante torsionale?
No, tranne che per il cerchio. I_p = I_x + I_y = πab(a² + b²)/4, mentre la costante torsionale esatta è J = πa³b³/(a² + b²). Per a = 2b, J è circa il 64% di I_p: usare il momento polare sovrastimerebbe la rigidezza torsionale di oltre la metà.
Come si confronta un’ellisse con un rettangolo di pari ingombro?
L’ellisse ha π/4 ≈ 78,5% dell’area del rettangolo e 3π/16 ≈ 58,9% del suo momento d’inerzia (πab³/4 contro 2a·(2b)³/12 = 4ab³/3). Il suo fattore di forma Z/S = 16/(3π) ≈ 1,70 è più alto dell’1,5 del rettangolo.
Riferimenti e approfondimenti
- List of second moments of area — Wikipedia (EN) — formule chiuse di Ix e Iy per le forme comuni, usate per verificare questo calcolatore.
- Torsion constant — Wikipedia (EN) — perché J differisce dal momento polare nelle sezioni non circolari, con le formule per pareti sottili.
- Modulo di resistenza — Wikipedia — modulo di resistenza elastico e plastico, con le formule per le sezioni più comuni.
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