Calculateur de Chaîne de Cotes
Construisez une chaîne de cotes 1D, obtenez le jeu résultant par pire cas, RSS, MRSS et simulation Monte-Carlo, identifiez la tolérance qui pilote le résultat et imprimez un rapport de calcul.
Ajoutez chaque cote comprise entre les deux faces qui vous intéressent. Donnez-lui un
sens — + si elle ouvre le jeu (longueur d’un logement, profondeur
d’un alésage), − si elle le ferme (pièce à monter, épaulement, entretoise) — et ses
écarts exactement comme sur le plan, ou saisissez un code ISO 286
comme H7 ou g6 et laissez le calculateur les remplir à partir des mêmes
tables ISO 286 que le calculateur de tolérances et ajustements.
Les quatre méthodes tournent en même temps sur la même chaîne. Fixez un jeu minimal et/ou maximal exigé pour obtenir un verdict par méthode, ainsi que Cp/Cpk et taux hors spécification : prédit analytiquement par le RSS et observé par la simulation Monte-Carlo. Activez les paramètres de procédé pour donner à chaque ligne sa propre distribution, son Cp et son décalage de moyenne.
Chaîne de cotes
Écarts en mm, comme sur le plan (ex. +0.021 / 0). Saisissez un code ISO 286 pour
les remplir automatiquement pour le nominal de la ligne ; effacez-le pour les modifier à la main.
| # | Cote | Sens | Nominal (mm) | ISO 286 | Écart sup. (mm) | Écart inf. (mm) | Distribution | Cp | Décalage moyenne (mm) | Actions |
|---|
Exigence et réglages
Informations du rapport (imprimées sur le PDF)
Pire cas
JeuChaque cote à sa limite de plan, toutes en même temps. Rien ne peut sortir de cette bande.
RSS (statistique)
JeuRacine de la somme des carrés des σ de chaque ligne (selon sa distribution et son Cp ; par défaut normale, ±tol = ±3σ). Bande = ±3σ du jeu.
MRSS (Bender)
JeuRSS × 1.5. Correction empirique pour les procédés réels qui dérivent du centre.
Monte-Carlo
Jeu20,000 assemblages simulés, chaque ligne tirée selon sa propre distribution. Graine fixe, donc les chiffres sont reproductibles.
Distribution du jeu (Monte-Carlo)
Barres : assemblages simulés. Ligne sombre : la courbe normale supposée par le RSS, avec les mêmes moyenne et σ. Pointillés rouges : votre exigence. Si les barres sont plus larges, asymétriques ou décalées par rapport à la ligne, le RSS sous-estime le risque.
Quelle tolérance pilote le résultat ?
La part pire cas est la demi-tolérance de chaque ligne rapportée à la somme ; la part RSS est le carré de chaque demi-tolérance rapporté à la somme des carrés, c’est-à-dire la part de variance du jeu. Resserrer le premier contributeur RSS est là où un changement de tolérance rapporte le plus.
Contributeur principal: Largeur roulement A — 35.2% de la variance du jeu, 31.1% de la bande du pire cas.
| # | Cote | Sens | Nominal (mm) | Écarts (mm) | ± tol (mm) | σ (mm) | Procédé | Part pire cas | Part de variance |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Largeur roulement A | − | 15.000 | 0.000 / −0.120 | ±0.060 | 0.0200 | Normale | ||
| 2 | Largeur roulement B | − | 15.000 | 0.000 / −0.120 | ±0.060 | 0.0200 | Normale | ||
| 3 | Entretoise | − | 29.800 | +0.050 / −0.050 | ±0.050 | 0.0167 | Normale | ||
| 4 | Longueur du logement | + | 60.000 | +0.046 / 0.000 | ±0.023 | 0.0077 | Normale |
Comment fonctionnent les quatre méthodes
Chaque ligne est d’abord ramenée à sa moyenne (nominal + (sup. + inf.)/2) et à sa demi-tolérance ((sup. − inf.)/2). La moyenne du jeu est la somme signée des moyennes de ligne : c’est pourquoi une tolérance unilatérale éloigne le jeu attendu du nominal. Le σ de chaque ligne découle de sa distribution : T/(3·Cp) pour la normale, T/√3 pour l’uniforme, T/√6 pour la triangulaire. Les méthodes diffèrent par la façon de combiner les lignes :
Pire cas
Tjeu = Σ Ti
Somme arithmétique. Chaque pièce à sa limite dans le sens défavorable, toutes en même temps. Garanti mais pessimiste : sur une chaîne de quatre cotes ou plus, c’est souvent le double de la dispersion réaliste.
RSS
σjeu = √(Σ σi²), Tjeu = 3σjeu
Racine de la somme des carrés de lignes indépendantes. Avec les valeurs par défaut (normale, Cp = 1), c’est la classique √ΣTi². La bande est centrée sur le jeu moyen du procédé, donc les décalages de moyenne par ligne la déplacent. Cp/Cpk et ppm découlent de σjeu.
MRSS
Tjeu = Cf · 3σjeu
RSS modifié. Le facteur de correction de Bender Cf = 1,5 (1,4–1,8 dans la littérature) tient compte des procédés qui dérivent et ne sont pas parfaitement normaux. Jamais supérieur au pire cas.
Monte-Carlo
jeuk = Σ sensi · xi,k, k = 1…N
Chaque ligne est tirée N fois selon sa propre distribution (Box–Muller pour la normale, somme de deux uniformes pour la triangulaire) et le jeu est reconstruit à chaque fois. Bande rapportée = percentiles 0,135–99,865, l’équivalent empirique de ±3σ, donc le verdict a le même sens que pour le RSS.
Non modélisés : contributions inclinées, bonus de tolérance au maximum de matière, déplacement des références et cotes corrélées (pièces usinées dans une même prise).
Glossaire
- Jeu
- La distance résultante entre les deux faces reliées par la chaîne. Positif = garde, négatif = serrage, par convention de ce calculateur.
- Sens (+ / −)
- Signe d’une cote dans la boucle vectorielle. + ouvre le jeu, − le ferme. En parcourant la boucle d’une face à l’autre, les cotes traversées « en avant » sont +, celles « en arrière » sont −.
- Décalage de la moyenne
- Différence entre le jeu moyen et le jeu nominal, due aux écarts asymétriques ou unilatéraux. Une chaîne de valeurs ±T autour du nominal l’ignore.
- Cp / Cpk
- Indices de capabilité du jeu vis-à-vis de l’exigence. Cp compare la largeur de l’exigence à 6σ ; Cpk tient aussi compte de la distance de la moyenne à la limite la plus proche. 1,33 est un minimum courant, 1,67 pour les caractéristiques critiques.
- ppm hors spécification
- Assemblages par million prévus hors de l’exigence, sous l’hypothèse RSS (normale). Un ±3σ qui remplit exactement la bande donne environ 2 700 ppm.
- Contribution
- Part de responsabilité de chaque ligne dans la variation du jeu : en part de la bande arithmétique (pire cas) ou de la variance (RSS et Monte-Carlo).
- Distribution (normale / uniforme / triangulaire)
- Forme de la dispersion d’une cote dans sa bande. Normale : courbe en cloche, σ = T/(3·Cp). Uniforme : toute valeur équiprobable, σ = T/√3. Triangulaire : pic au centre, σ = T/√6.
- Décalage de la moyenne (par ligne)
- Distance entre le centre réel d’un procédé et le milieu de la bande du plan. Déplace les résultats RSS/MRSS/Monte-Carlo mais pas le pire cas, qui concerne les limites du plan.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une chaîne de cotes ?
Une chaîne de cotes (tolerance stack-up) est l’analyse de la façon dont les tolérances de plusieurs cotes d’un assemblage se cumulent pour déterminer un jeu, une garde ou un serrage résultant. Chaque cote de la chaîne peut se trouver n’importe où dans sa bande de tolérance, donc le jeu a lui aussi une plage : la chaîne de cotes indique sa largeur et si l’assemblage fonctionne encore à ses extrêmes.
Quand utiliser le pire cas plutôt que le RSS ?
Utilisez le pire cas lorsqu’une défaillance est inacceptable : ajustements critiques pour la sécurité, faibles volumes, fournisseurs non qualifiés, ou chaîne de deux ou trois cotes seulement (trop peu pour que la statistique compense). Utilisez le RSS lorsque les pièces sont produites en série par des procédés stables et capables et qu’un faible taux de rebut prévu est acceptable. Beaucoup d’équipes font les deux : pire cas pour prouver la faisabilité, RSS pour éviter de resserrer des tolérances qui coûtent cher.
Qu’est-ce que le « facteur de Bender » 1,5 du MRSS ?
Arthur Bender a comparé les prédictions RSS à des assemblages mesurés et constaté que les procédés réels, qui dérivent, ne sont pas parfaitement centrés et pas parfaitement normaux, produisent environ 50 % de variation de plus que le RSS pur ne le prédit. Multiplier la bande RSS par 1,5 (la littérature cite des valeurs de 1,4 à 1,8) est une correction pratique très répandue. Le calculateur plafonne le MRSS à la bande du pire cas, qu’il ne peut physiquement jamais dépasser.
Comment traiter une tolérance unilatérale comme 15 0/−0,12 ?
Saisissez les écarts exactement comme sur le plan : supérieur 0, inférieur −0,120. Le calculateur convertit en interne chaque bande en sa moyenne (14,940) et sa demi-tolérance (±0,060), de sorte que le jeu résultant est centré sur la valeur réellement attendue, pas sur le nominal. La valeur « décalage de la moyenne » des résultats indique de combien les écarts asymétriques déplacent le jeu attendu.
Comment modéliser un serrage ou un contrôle de montage ?
Définissez la boucle de sorte qu’un jeu positif signifie une garde : les cotes qui ouvrent le jeu (longueur d’un logement, un alésage, une rainure) ont le sens +, celles qui le remplissent (pièces à monter, épaulements, entretoises) ont le sens −. Si la plage résultante est entièrement négative, l’assemblage est en serrage ; si elle chevauche zéro, c’est un ajustement incertain : le même vocabulaire que le calculateur d’ajustements ISO 286. Ajoutez un jeu minimal exigé (par exemple 0,05 mm) pour obtenir un verdict par méthode.
Qu’apporte la simulation Monte-Carlo par rapport au RSS ?
Le RSS est un raccourci analytique qui suppose chaque cote normalement distribuée et centrée. Monte-Carlo construit au contraire des milliers d’assemblages virtuels, en tirant chaque cote selon la distribution que vous lui attribuez (normale avec un Cp donné, uniforme ou triangulaire) et avec le décalage de moyenne que vous attendez du procédé. Le résultat est la forme réelle de la distribution du jeu (l’histogramme), un taux de rebut observé et une vérification de l’écart entre l’hypothèse RSS et la réalité. La graine est fixe, donc la même chaîne donne toujours les mêmes chiffres.
Quelle distribution choisir pour une ligne ?
La normale est le choix par défaut et représente la plupart des usinages sous contrôle statistique ; utilisez Cp = 1,33 ou 1,67 si le fournisseur garantit cette capabilité. L’uniforme est le choix conservateur pour un procédé peu maîtrisé ou un réglage qui peut tomber n’importe où dans la bande (cales, réglages manuels). La triangulaire se situe entre les deux et sert souvent pour les pièces du commerce dont on ne connaît que les limites du plan. Un décalage de la moyenne modélise un procédé qui travaille délibérément ou systématiquement hors centre, par exemple un diamètre tourné maintenu vers la limite supérieure pour permettre une reprise.
Puis-je inclure des tolérances géométriques (localisation, planéité, perpendicularité) ?
Dans une chaîne 1D, une tolérance géométrique qui agit dans la direction de la chaîne s’ajoute comme une ligne de nominal 0 avec un écart symétrique (par exemple ±0,05 pour une tolérance de localisation 0,1). Les tolérances agissant sous un angle, le bonus au maximum de matière et le déplacement des références ne sont pas modélisés ici : ils exigent une analyse 2D/3D complète.
Références et pour aller plus loin
- ASME Y14.5 — Dimensioning and Tolerancing — la norme GD&T dont les tolérances alimentent une chaîne de cotes ; les équivalents ISO sont ISO 1101 et ISO 14405.
- ISO 286-1:2010 — Système de codification ISO pour les tolérances sur les tailles linéaires — source des qualités IT et des écarts fondamentaux derrière le remplissage automatique ISO 286.
- F. Scholz, « Tolerance Stack Analysis Methods — A Critical Review » (Boeing, 1995) — la comparaison de référence des méthodes arithmétique, RSS, Bender et à décalage de moyenne.
- Chaîne de cotes — Wikipédia — présentation des chaînes de cotes, du calcul au pire cas et de l’approche statistique.
- Capabilité — Wikipédia — définitions de Cp et Cpk et leur relation avec σ et les taux de rebut.
Emportez ce calculateur dans votre poche
MechaHandbook contient les tables de tolérances ISO 286 et bien plus — tableaux de filetages, composants normalisés et couple de serrage — le tout hors ligne, sans internet.
Télécharger l'application